№17475

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Последовательность,  Арифметическая прогрессия, Алгебраические уравнения и системы уравнений, смешанные задачи на арифметическую прогрессию повышенной сложности, системы уравнений, системы нелинейных уравнений,

Задача в следующих классах: 9 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Найти число членов арифметической прогрессии, у которой сумма всех членов равна 112, произведение второго члена на разность прогрессии равно 30, а сумма третьего и пятого членов равна 32. Написать три первых члена прогрессии.

Ответ

{1;6;11,7;10;13}

Решение № 17473:

Для решения задачи найдем число членов арифметической прогрессии, у которой сумма всех членов равна 112, произведение второго члена на разность прогрессии равно 30, а сумма третьего и пятого членов равна 32. Также напишем три первых члена прогрессии. <ol> <li>Запишем условия задачи: <ol type=a> <li>Сумма всех членов прогрессии равна 112.</li> <li>Произведение второго члена на разность прогрессии равно 30.</li> <li>Сумма третьего и пятого членов равна 32.</li> </ol> </li> <li>Обозначим первый член прогрессии как \(a_1\), разность прогрессии как \(d\), а количество членов прогрессии как \(n\).</li> <li>Используем формулу суммы первых \(n\) членов арифметической прогрессии: \[ S_n = \frac{n}{2} (2a_1 + (n-1)d) \] Подставим значение суммы: \[ \frac{n}{2} (2a_1 + (n-1)d) = 112 \] </li> <li>Используем условие для второго члена прогрессии: \[ a_2 = a_1 + d \] Подставим значение произведения: \[ (a_1 + d) \cdot d = 30 \] </li> <li>Используем условие для третьего и пятого членов прогрессии: \[ a_3 = a_1 + 2d \] \[ a_5 = a_1 + 4d \] Подставим значение их суммы: \[ (a_1 + 2d) + (a_1 + 4d) = 32 \] </li> <li>Решим систему уравнений: <ol type=a> <li> \[ \frac{n}{2} (2a_1 + (n-1)d) = 112 \] </li> <li> \[ (a_1 + d) \cdot d = 30 \] </li> <li> \[ (a_1 + 2d) + (a_1 + 4d) = 32 \] </li> </ol> </li> <li>Упростим третье уравнение: \[ 2a_1 + 6d = 32 \] \[ a_1 + 3d = 16 \] </li> <li>Подставим \(a_1 + 3d = 16\) во второе уравнение: \[ (a_1 + d) \cdot d = 30 \] \[ a_1 + d = \frac{30}{d} \] </li> <li>Подставим \(a_1 + d = \frac{30}{d}\) в упрощенное третье уравнение: \[ \frac{30}{d} + 2d = 16 \] \[ 30 + 2d^2 = 16d \] \[ 2d^2 - 16d + 30 = 0 \] \[ d^2 - 8d + 15 = 0 \] </li> <li>Решим квадратное уравнение: \[ d = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 60}}{2} \] \[ d = \frac{8 \pm 2}{2} \] \[ d = 5 \quad \text{или} \quad d = 3 \] </li> <li>Для \(d = 5\): \[ a_1 + 5 = \frac{30}{5} \] \[ a_1 = 1 \] Подставим \(a_1\) и \(d\) в первое уравнение: \[ \frac{n}{2} (2 \cdot 1 + (n-1) \cdot 5) = 112 \] \[ \frac{n}{2} (2 + 5n - 5) = 112 \] \[ \frac{n}{2} (5n - 3) = 112 \] \[ 5n^2 - 3n = 224 \] \[ 5n^2 - 3n - 224 = 0 \] Решим квадратное уравнение: \[ n = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 4480}}{10} \] \[ n = \frac{3 \pm 67}{10} \] \[ n = 7 \quad \text{или} \quad n = -6.4 \quad (\text{не подходит}) \] </li> <li>Для \(d = 3\): \[ a_1 + 3 = \frac{30}{3} \] \[ a_1 = 7 \] Подставим \(a_1\) и \(d\) в первое уравнение: \[ \frac{n}{2} (2 \cdot 7 + (n-1) \cdot 3) = 112 \] \[ \frac{n}{2} (14 + 3n - 3) = 112 \] \[ \frac{n}{2} (3n + 11) = 112 \] \[ 3n^2 + 11n = 224 \] \[ 3n^2 + 11n - 224 = 0 \] Решим квадратное уравнение: \[ n = \frac{-11 \pm \sqrt{121 + 2688}}{6} \] \[ n = \frac{-11 \pm 53}{6} \] \[ n = 7 \quad \text{или} \quad n = -10.5 \quad (\text{не подходит}) \] </li> <li>Таким образом, \(n = 7\), \(d = 5\), \(a_1 = 1\).</li> <li>Напишем три первых члена прогрессии: \[ a_1 = 1 \] \[ a_2 = a_1 + d = 1 + 5 = 6 \] \[ a_3 = a_1 + 2d = 1 + 10 = 11 \] </li> </ol> Таким образом, число членов арифметической прогрессии равно 7, а три первых члена прогрессии: 1, 6, 11.