№17436

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Последовательность, Геометрическая прогрессия, Алгебраические уравнения и системы уравнений, смешанные задачи на геометрическую прогрессию повышенной сложности, системы уравнений, системы нелинейных уравнений,

Задача в следующих классах: 9 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Три числа составляют геометрическую прогрессию. Если от третьего отнять 4, то числа составят арифметическую прогрессию. Если же от второго и третьего членов полученной арифметической прогрессии отнять по 1, то снова получится геометрическая прогрессия. Найти эти числа.

Ответ

{1;3;9, \frac{1}{9};\frac{7}{9};\frac{49}{9}}

Решение № 17434:

Для решения задачи о трех числах, образующих геометрическую и арифметическую прогрессии, выполним следующие шаги: <ol> <li>Пусть три числа, образующие геометрическую прогрессию, будут \(a\), \(aq\) и \(aq^2\).</li> <li>Если от третьего числа отнять 4, то числа составят арифметическую прогрессию. Таким образом, числа будут \(a\), \(aq\) и \(aq^2 - 4\).</li> <li>Для арифметической прогрессии выполняется условие \(aq - a = (aq^2 - 4) - aq\). Упростим это уравнение:</li> <li> \[ aq - a = aq^2 - aq - 4 \] </li> <li>Перенесем все члены в одну сторону уравнения:</li> <li> \[ aq - a - aq^2 + aq + 4 = 0 \] </li> <li>Упростим уравнение:</li> <li> \[ -aq^2 + 2aq - a + 4 = 0 \] </li> <li>Теперь рассмотрим вторую часть условия: если от второго и третьего членов арифметической прогрессии отнять по 1, то снова получится геометрическая прогрессия. Таким образом, числа будут \(a\), \(aq - 1\) и \(aq^2 - 5\).</li> <li>Для геометрической прогрессии выполняется условие \((aq - 1)^2 = a \cdot (aq^2 - 5)\). Упростим это уравнение:</li> <li> \[ (aq - 1)^2 = a \cdot (aq^2 - 5) \] </li> <li>Раскроем скобки и упростим:</li> <li> \[ a^2q^2 - 2aq + 1 = a^2q^2 - 5a \] </li> <li>Перенесем все члены в одну сторону уравнения:</li> <li> \[ a^2q^2 - 2aq + 1 - a^2q^2 + 5a = 0 \] </li> <li>Упростим уравнение:</li> <li> \[ -2aq + 1 + 5a = 0 \] </li> <li>Сократим подобные члены:</li> <li> \[ -2aq + 5a + 1 = 0 \] </li> <li>Теперь у нас есть система из двух уравнений:</li> <li> \[ \begin{cases} -aq^2 + 2aq - a + 4 = 0 \\ -2aq + 5a + 1 = 0 \end{cases} \] </li> <li>Решим эту систему уравнений. Для начала найдем \(q\) из второго уравнения:</li> <li> \[ -2aq + 5a + 1 = 0 \] </li> <li>Выразим \(q\):</li> <li> \[ -2aq = -5a - 1 \] </li> <li> \[ q = \frac{5a + 1}{2a} \] </li> <li>Подставим \(q\) в первое уравнение:</li> <li> \[ -a\left(\frac{5a + 1}{2a}\right)^2 + 2a\left(\frac{5a + 1}{2a}\right) - a + 4 = 0 \] </li> <li>Упростим уравнение:</li> <li> \[ -a\left(\frac{25a^2 + 10a + 1}{4a^2}\right) + 2a\left(\frac{5a + 1}{2a}\right) - a + 4 = 0 \] </li> <li> \[ -\frac{25a^2 + 10a + 1}{4a} + \frac{10a + 2}{2} - a + 4 = 0 \] </li> <li>Умножим все члены на \(4a\) для упрощения:</li> <li> \[ -(25a^2 + 10a + 1) + 20a + 4a - 4a^2 + 16a = 0 \] </li> <li>Упростим уравнение:</li> <li> \[ -25a^2 - 10a - 1 + 20a + 4a - 4a^2 + 16a = 0 \] </li> <li>Сократим подобные члены:</li> <li> \[ -29a^2 + 30a - 1 = 0 \] </li> <li>Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:</li> <li> \[ D = b^2 - 4ac = 30^2 - 4 \cdot (-29) \cdot (-1) = 900 - 116 = 784 \] </li> <li>Найдем корни уравнения:</li> <li> \[ a = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-30 \pm \sqrt{784}}{2 \cdot (-29)} = \frac{-30 \pm 28}{-58} \] </li> <li>Получим два решения для \(a\):</li> <li> \[ a_1 = \frac{-30 + 28}{-58} = \frac{-2}{-58} = \frac{1}{29} \] </li> <li> \[ a_2 = \frac{-30 - 28}{-58} = \frac{-58}{-58} = 1 \] </li> <li>Теперь найдем соответствующие значения \(q\):</li> <li>Для \(a = 1\):</li> <li> \[ q = \frac{5 \cdot 1 + 1}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3 \] </li> <li>Для \(a = \frac{1}{29}\):</li> <li> \[ q = \frac{5 \cdot \frac{1}{29} + 1}{2 \cdot \frac{1}{29}} = \frac{\frac{5}{29} + 1}{\frac{2}{29}} = \frac{\frac{34}{29}}{\frac{2}{29}} = \frac{34}{2} = 17 \] </li> <li>Таким образом, числа, удовлетворяющие условиям задачи, либо \((1, 3, 9)\), либо \((\frac{1}{29}, \frac{17}{29}, \frac{289}{29})\).</li> </ol> Ответ: \(1, 3, 9\) или \(\frac{1}{29}, \frac{17}{29}, \frac{289}{29}\).