№17417

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Задачи на построение с помощью циркуля и линейки,

Задача в следующих классах: 7 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Гордин Р. К. Г68 Геометрия. Планиметрия. 7–9 классы. — 3-е изд., испр. — М.: МЦНМО, 2006. — 416 с.: ил.

Условие

Даны три точки \(A, B\) и \(C\). Постройте три окружности, попарно касающиеся в этих точках.

Ответ

NaN

Решение № 17415:

Рассмотрим случай внешнего касания (см. рис. ниже). Предположим, что окружности \(S_{1}, S_{2}\) и \(S_{3}\) построены. Пусть \(S_{1}\) и \(S_{2}\) касаются в точке \(C, S_{1}\) и \(S_{3}\) — в точке \(B, S_{2} и \(S_{3}\) — в точке \(A\). Пусть \(O_{1}, O_{2}\) и \(O_{3}\) — центры окружностей \( S_{1}, S_{2}\) и \(S_{3}\) соответственно. Тогда точки \(A, B\) и \(C\) лежат на сторонах треугольника \(O_{1}O_{2}O_{3}\), причем \(O_{1}B = O_{1}C, O_{2}C = O_{2}A, O_{3}A = O_{3}B\). Точки \(A, B\) и \(C\) являются точками касания вписанной окружности треугольника \(O_{1}O_{2}O_{3}\) с его сторонами. Отсюда вытекает следующий способ построения. Строим описанную окружность треугольника \(ABC\) и проводим к ней касательные в точках \(A, B\) и \(C\). Точки пересечения этих касательных есть центры искомых окружностей. Если каждая из двух окружностей, касающихся между собой внешним образом, внутренне касается третьей окружности, то аналогично можно доказать, что точки их попарного касания являются точками касания прямых, содержащих стороны треугольника \(O_{1}O_{2}O_{3}\), с вневписанной окружностью этого треугольника. <img src='https://hot_data_kuzovkin_info_private.hb.ru-msk.vkcs.cloud/picture_to_tasks/math/gordin/7_9_klass/39_answer_gord.png' />