№17415

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Задачи на построение с помощью циркуля и линейки,

Задача в следующих классах: 7 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге: Гордин Р. К. Г68 Геометрия. Планиметрия. 7–9 классы. — 3-е изд., испр. — М.: МЦНМО, 2006. — 416 с.: ил.

Условие

Постройте окружность, касающуюся данной прямой и данной окружности в данной на ней точке.

Ответ

NaN

Решение № 17413:

Предположим, задача решена. Пусть построенная окружность с центром \(O_{2}\) касается данной прямой \(l\) в точке \(C\), а данной окружности с центром \(O_{1}\) — в данной на ней точке \(A\) (см. рис. ниже). Первый способ. Пусть прямая \(AC\) вторично пересекает данную окружность в точке \(B\). Тогда касательная, проведенная к этой окружности в точке \(B\), параллельна прямой \(l\), а точки \(O_{1}, O_{2}\) и \(A\) лежат на одной прямой. Отсюда вытекает следующий способ построения. Проведем касательную к данной окружности, параллельную данной прямой \(l\). Пусть \(B\) — точка касания, а прямая \(AB\) пересекает прямую \(l\) в точке \(C\). Тогда центр \(O_{2}\) искомой окружности найдем как точку пересечения перпендикуляра к прямой \(l\), восставленного из точки \(C\), и прямой \(O_{1}A\). Второй способ. Пусть касательная к данной окружности, проведенная через точку \(A\), пересекает данную прямую в точке \(M\). Тогда искомая окружность касается прямой \(AM\) в точке \(A\), а ее центр \(O_{2}\) лежит на биссектрисе угла \(AMC\) или на биссектрисе смежного с ним угла. Отсюда вытекает соответствующий способ построения. Если данная окружность не имеет с прямой \(l\) общих точек и данная точка не лежит на перпендикуляре к данной прямой, проходящем через центр данной окружности, задача имеет два решения (внутреннее и внешнее касания). <img src='https://hot_data_kuzovkin_info_private.hb.ru-msk.vkcs.cloud/picture_to_tasks/math/gordin/7_9_klass/35_answer_gord.png' />