№17349

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Окружность и круг, касательная к окружности,

Задача в следующих классах: 7 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Гордин Р. К. Г68 Геометрия. Планиметрия. 7–9 классы. — 3-е изд., испр. — М.: МЦНМО, 2006. — 416 с.: ил.

Условие

На сторонах \(BC, CA\) и \(AB\) треугольника \(ABC\) взяты соответственно точки \(A_{1}, B_{1} \) и \(C_{1}\), причем \( AC_{1} = AB_{1}, BA_{1} = BC_{1}\) и \(CA_{1} = CB_{1}\). Докажите, что \(A_{1}, B_{1} \) и \(C_{1}\) — точки касания вписанной окружности со сторонами треугольника.

Ответ

NaN

Решение № 17347:

Обозначим \(AC_{1} = AB_{1} = x, BA_{1} = BC_{1} = y, CA_{1} = CB_{1} = z, AB = c, AC = b, BC = a\) (рис. 172). Тогда \( x + z = b, x + y = c, z + y = a\). Из полученной системы уравнений находим, что \(AB_{1} = x = \frac{1}{2}\left ( b+c-a \right )=p-a \) , т.е. точка \(B_{1}\) совпадает с точкой касания вписанной окружности со стороной \(AC\). Аналогично для точек \(A_{1}\) и \(C_{1}\). <img src='https://hot_data_kuzovkin_info_private.hb.ru-msk.vkcs.cloud/picture_to_tasks/math/gordin/7_9_klass/37_answer_gord.png' />