№17348

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Окружность и круг, касательная к окружности,

Задача в следующих классах: 7 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге: Гордин Р. К. Г68 Геометрия. Планиметрия. 7–9 классы. — 3-е изд., испр. — М.: МЦНМО, 2006. — 416 с.: ил.

Условие

В четырехугольнике \(MNPQ\) расположены две непересекающиеся окружности так, что одна из них касается сторон \(MN, NP\) и \(PQ\), а другая — сторон \(MN, MQ\) и \(PQ\). Точки \(B\) и \(A\) лежат соответственно на сторонах \(MN\) и \(PQ\), причем отрезок \(AB\) касается обеих окружностей. Найдите сторону \(MQ\), если \(NP = b\) и периметр четырехугольника \(BAQM\) больше периметра четырехугольника \(ABNP\) на \( 2p \).

Ответ

b+p

Решение № 17346:

Поскольку в четырехугольники \(ABMQ\) и \(ABNP\) вписаны окружности (см. рис. ниже), \( MQ+AB=\frac{1}{2}P_{1} \) и \( AB+NP=\frac{1}{2}P_{2} \) \( P_{1} \) и \( P_{2} \) — периметры этих четырехугольников). Поэтому \( MQ-NP=\frac{1}{2}\left ( P_{1}-P_{2} \right )=p \) Отсюда находим, что \( MQ = NP + p = b + p\). <img src='https://hot_data_kuzovkin_info_private.hb.ru-msk.vkcs.cloud/picture_to_tasks/math/gordin/7_9_klass/36_answer_gord.png' />