Задача №17341

№17341

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Окружность и круг, касательная к окружности,

Задача в следующих классах: 7 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге: Гордин Р. К. Г68 Геометрия. Планиметрия. 7–9 классы. — 3-е изд., испр. — М.: МЦНМО, 2006. — 416 с.: ил.

Условие

Две окружности касаются внешним (внутренним) образом. Докажите, что сумма (разность) их радиусов равна расстоянию между центрами. Верно ли обратное?

Ответ

Верно.

Решение № 17339:

Пусть сумма радиусов \(r\) и \(R\) двух окружностей равна расстоянию между их центрами \(O_{1}\) и \(O_{2}\) (см. рис. ниже). Тогда точка \(M\) отрезка \(O_{1}O_{2}\), удаленная от точки \(O_{1}\) на расстояние \(r\), удалена на расстояние \(R\) от точки \(O_{2}\), значит, \(M\) — общая точка окружностей. Если \(K\) — еще одна общая точка этих окружностей, то \(O_{1}O_{2}< O_{1}K + O_{2}K = r + R\), что невозможно. Остальное аналогично.<img src='https://hot_data_kuzovkin_info_private.hb.ru-msk.vkcs.cloud/picture_to_tasks/math/gordin/7_9_klass/29_answer_gord.png' />

Поделиться в социальных сетях

Комментарии (0)