№17340

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Окружность и круг, касательная к окружности,

Задача в следующих классах: 7 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге: Гордин Р. К. Г68 Геометрия. Планиметрия. 7–9 классы. — 3-е изд., испр. — М.: МЦНМО, 2006. — 416 с.: ил.

Условие

Докажите, что две окружности касаются тогда и только тогда, когда они касаются некоторой прямой в одной и той же точке.

Ответ

NaN

Решение № 17338:

Пусть \(M\) — единственная общая точка окружностей с центрами \(O_{1}\) и \(O_{2}\) (рис. 166). Точка \(M\) лежит на прямой \(O_{1}O_{2}\). Прямая, проходящая через точку \(M\) перпендикулярно \(O_{1}O_{2}\), является касательной к каждой из окружностей. Пусть теперь окружности с центрами \(O_{1}\) и \(O_{2}\) касаются некоторой прямой \(l\) в точке \(M\). Тогда радиусы \(O_{1}M\) и \(O_{2}M\) перпендикулярны \(l\), значит, точка \(M\) лежит на прямой \(O_{1}O_{2}\). Предположим, что окружности имеют еще одну общую точку \(K\), отличную от \(M\). Тогда точка, симметричная точке \(K\) относительно прямой \(O_{1}O_{2}\), также принадлежит обеим окружностям, что невозможно, так как две различные окружности не могут иметь три общие точки. <img src='https://hot_data_kuzovkin_info_private.hb.ru-msk.vkcs.cloud/picture_to_tasks/math/gordin/7_9_klass/28_answer_gord.png' />