№17335

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Окружность и круг, касательная к окружности,

Задача в следующих классах: 7 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге: Гордин Р. К. Г68 Геометрия. Планиметрия. 7–9 классы. — 3-е изд., испр. — М.: МЦНМО, 2006. — 416 с.: ил.

Условие

Окружность касается стороны \(BC\) треугольника \(ABC\) в точке \(M\), а продолжений сторон \(AB\) и \(AC\) — в точках \(N\) и \(P\) соответственно. Вписанная в этот треугольник окружность касается стороны \(BC\) в точке \(K\), а стороны \(AB\) — в точке \(L\). Докажите, что: а) отрезок \(AN\) равен полупериметру треугольника \(ABC\); б) \(BK = CM\); в) \(NL = BC\).

Ответ

NaN

Решение № 17333:

а) Пусть \(p\) — полупериметр треугольника \(ABC\) (см. рис. ниже). Тогда \(AN + AP = AB + BN + AC + CP = AB + BM + AC + CM = = AB + AC + (BM + CM) = AB + AC + BC = 2p\) и \(AN = AP\) , поэтому \(AN = p\). б) Так как \(BK = p − AC\) и \(CM = CP = AP−AC = p−AC\), то \(BK = CM\). в) \(NL = AN − AL = p − (p − BC) = BC\). <img src='https://hot_data_kuzovkin_info_private.hb.ru-msk.vkcs.cloud/picture_to_tasks/math/gordin/7_9_klass/22_answer_gord.png' />