№17332

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Окружность и круг, касательная к окружности,

Задача в следующих классах: 7 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге: Гордин Р. К. Г68 Геометрия. Планиметрия. 7–9 классы. — 3-е изд., испр. — М.: МЦНМО, 2006. — 416 с.: ил.

Условие

В треугольник \(ABC\) вписана окружность, касающаяся стороны \(AB\) в точке \(M\). Пусть \(AM = x, BC = a\), полупериметр треугольника равен \(p\). Докажите, что \( x=p-a\).

Ответ

NaN

Решение № 17330:

Обозначим точки касания вписанной окружности со сторонами \(BC\) и \(AC\) через \(K\) и \(N\) соответственно (рис. 161). Пусть \(AC = b\) и \(AB = c\). Тогда \(BK = BM = AB − AM = c − x, CK = CN = AC − AN = b − x, BC = BK + CK = c − x + b − x = b + c − 2x\). Следовательно, \( x=\frac{1}{2}\left ( b+c-a \right )=\frac{1}{2}\left ( b+c+a \right )-a=p-a \) . <img src='https://hot_data_kuzovkin_info_private.hb.ru-msk.vkcs.cloud/picture_to_tasks/math/gordin/7_9_klass/19_answer_gord.png' />