№17328

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Окружность и круг, касательная к окружности,

Задача в следующих классах: 7 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге: Гордин Р. К. Г68 Геометрия. Планиметрия. 7–9 классы. — 3-е изд., испр. — М.: МЦНМО, 2006. — 416 с.: ил.

Условие

Окружность, вписанная в треугольник \(ABC\), касается его сторон \(AB, BC\) и \(AC\) соответственно в точках \(K, M\) и \(N\). Найдите угол \(KMN\), если \(\angle A = 70^{\circ}\).

Ответ

55

Решение № 17326:

Обозначим углы треугольника при вершинах \(A, B\) и \(C\) соответственно \( \alpha ,\beta ,\gamma \). Поскольку \(BM = BK\) и \(CM = CN\), то треугольники \(MBK\) и \(MCN\) – равнобедренные. Поэтому \(\angle BMK=90^{\circ}-\frac{\beta }{2}, \angle CMN=90^{\circ}-\frac{\gamma }{2}. \) Следовательно, \( \angle KMN=360^{\circ}-\angle BMK-MCN=180^{\circ}-\left ( 90^{\circ}-\frac{\beta }{2} \right )-\left ( 90-\frac{\gamma }{2}^{\circ} \right )=\frac{1}{2}\left ( \beta +\gamma \right )=90^{\circ}-\frac{\alpha }{2}=55^{\circ} \).