№17260

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Геометрические места точек (ГМТ), свойства биссектрисы как ГМТ,

Задача в следующих классах: 7 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Биссектрисы \(BB_{1}\)и \(CC_{1}\) треугольника \(ABC\) пересекаются в точке \(M\), биссектрисы \(B_{1}B_{2}\) и \(C_{1}C_{2}\) треугольника \(AB_{1}C_{1}\) пересекаются в точке \(N\). Докажите, что точки \(A\), \(M\) и \(N\) лежат на одной прямой.

Ответ

NaN

Решение № 17258:

Для доказательства того, что биссектриса угла является его осью симметрии, выполним следующие шаги: <ol> <li>Рассмотрим угол \( \angle AOB \) с вершиной в точке \( O \) и сторонами \( OA \) и \( OB \).</li> <li>Введем биссектрису угла \( \angle AOB \), которая делит угол на два равных угла. Обозначим эту биссектрису как \( l \).</li> <li>Рассмотрим точки \( A \) и \( B \), лежащие на сторонах угла \( \angle AOB \) и симметричные относительно биссектрисы \( l \).</li> <li>По определению биссектрисы, углы \( \angle AOL \) и \( \angle BOL \) равны, где \( L \) — точка пересечения биссектрисы с сторонами угла.</li> <li>Теперь рассмотрим треугольники \( \triangle AOL \) и \( \triangle BOL \).</li> <li>Треугольники \( \triangle AOL \) и \( \triangle BOL \) равны по следующим причинам: <ul> <li>Общая сторона \( OL \).</li> <li>Равные углы \( \angle AOL \) и \( \angle BOL \) (по определению биссектрисы).</li> <li>Равные стороны \( OA \) и \( OB \) (по условию симметрии).</li> </ul> </li> <li>Из равенства треугольников \( \triangle AOL \) и \( \triangle BOL \) следует, что \( AL = BL \).</li> <li>Следовательно, точки \( A \) и \( B \) симметричны относительно биссектрисы \( l \).</li> <li>Таким образом, биссектриса \( l \) является осью симметрии угла \( \angle AOB \).</li> </ol> Ответ: Биссектриса угла является его осью симметрии.