Экзамены с этой задачей: Треугольники общего вида

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, параллельность и сумма углов треугольника, сумма углов треугольника,

Задача в следующих классах: 7 класс

Сложность задачи : 2

Информация о книге не найдена

Условие

На продолжениях гипотенузы \(AB\) прямоугольного треугольника \(ABC\) за точки \(A\) и \(B\) соответственно взяты точки \(K\) и \(M\), причем \(AK = AC\) и \(BM = BC\). Найдите угол \(MCK\).

Ответ

135

Решение № 17222:

Для решения задачи о нахождении угла \(MCK\) в прямоугольном треугольнике \(ABC\) с точками \(K\) и \(M\) на продолжениях гипотенузы \(AB\), выполним следующие шаги: <ol> <li>Рассмотрим прямоугольный треугольник \(ABC\) с прямым углом при вершине \(C\). Пусть \(AB\) — гипотенуза, а \(AC\) и \(BC\) — катеты.</li> <li>Точки \(K\) и \(M\) расположены на продолжениях гипотенузы \(AB\) за точки \(A\) и \(B\) соответственно, причем \(AK = AC\) и \(BM = BC\).</li> <li>Так как \(AK = AC\), треугольник \(AKC\) является равнобедренным с основанием \(KC\).</li> <li>Аналогично, так как \(BM = BC\), треугольник \(BMC\) также является равнобедренным с основанием \(MC\).</li> <li>В равнобедренном треугольнике \(AKC\) углы при основании \(KC\) равны. Обозначим их как \(\alpha\).</li> <li>В равнобедренном треугольнике \(BMC\) углы при основании \(MC\) равны. Обозначим их как \(\beta\).</li> <li>Так как \(AC\) и \(BC\) — катеты прямоугольного треугольника \(ABC\), углы \(\angle CAB\) и \(\angle CBA\) равны \(45^\circ\) (поскольку \(ABC\) — прямоугольный треугольник с равными катетами).</li> <li>Углы \(\alpha\) и \(\beta\) равны \(45^\circ\), так как они являются углами при основании равнобедренных треугольников \(AKC\) и \(BMC\) соответственно.</li> <li>Угол \(MCK\) является суммой углов \(\alpha\) и \(\beta\): \[ \angle MCK = \alpha + \beta = 45^\circ + 45^\circ = 90^\circ \] </li> </ol> Таким образом, угол \(MCK\) равен \(90^\circ\). Ответ: \(90^\circ\).