Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, параллельность и сумма углов треугольника, сумма углов треугольника,

Задача в следующих классах: 7 класс

Сложность задачи : 2

Информация о книге не найдена

Условие

Угол при вершине \(B\) равнобедренного треугольника \(ABC\) равен \(108^{o}\) . Перпендикуляр к биссектрисе \(AD\) этого треугольника, проходящий через точку \(D\), пересекает сторону \(AC\) в точке \(E\). Докажите, что \(DE = BD\).

Ответ

NaN

Решение № 17217:

Для решения задачи докажем, что \(DE = BD\). Выполним следующие шаги: <ol> <li>Запишем условие задачи: \[ \text{Угол при вершине } B \text{ равнобедренного треугольника } ABC \text{ равен } 108^{\circ}. \] \[ \text{Перпендикуляр к биссектрисе } AD \text{ этого треугольника, проходящий через точку } D, \text{ пересекает сторону } AC \text{ в точке } E. \] </li> <li>Обозначим углы: \[ \text{Пусть } \angle ABD = \angle DBC = \alpha. \] \[ \text{Тогда } \angle ABC = 2\alpha = 108^{\circ}. \] </li> <li>Найдем угол \(\alpha\): \[ 2\alpha = 108^{\circ} \implies \alpha = 54^{\circ}. \] </li> <li>Найдем угол \(\angle ADB\): \[ \angle ADB = 180^{\circ} - \angle ABD - \angle DBC = 180^{\circ} - 54^{\circ} - 54^{\circ} = 72^{\circ}. \] </li> <li>Найдем угол \(\angle DAC\): \[ \angle DAC = \frac{180^{\circ} - \angle ADB}{2} = \frac{180^{\circ} - 72^{\circ}}{2} = 54^{\circ}. \] </li> <li>Найдем угол \(\angle DAE\): \[ \angle DAE = 90^{\circ} - \angle DAC = 90^{\circ} - 54^{\circ} = 36^{\circ}. \] </li> <li>Найдем угол \(\angle ADE\): \[ \angle ADE = 90^{\circ} - \angle DAE = 90^{\circ} - 36^{\circ} = 54^{\circ}. \] </li> <li>Найдем угол \(\angle DCE\): \[ \angle DCE = \angle DAC = 54^{\circ} \text{ (так как } AC = DC \text{ и } AD \text{ является биссектрисой)}. \] </li> <li>Найдем угол \(\angle DEC\): \[ \angle DEC = 180^{\circ} - \angle DCE - \angle ADE = 180^{\circ} - 54^{\circ} - 54^{\circ} = 72^{\circ}. \] </li> <li>Так как \(\angle DEC = \angle ADB\), то треугольник \(DEC\) равнобедренный: \[ \text{Следовательно, } DE = BD. \] </li> </ol> Таким образом, мы доказали, что \(DE = BD\). Ответ: \(DE = BD\).