Экзамены с этой задачей: Треугольники общего вида

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, параллельность и сумма углов треугольника, сумма углов треугольника,

Задача в следующих классах: 7 класс

Сложность задачи : 2

Информация о книге не найдена

Условие

Высоты остроугольного треугольника \(ABC\), проведенные из вершин \(A\) и \(B\), пересекаются в точке \(H\), причем \(∠AHB = 120^{o}\) , а биссектрисы, проведенные из вершин \(B\) и \(C\), — в точке \(K\), причем \(∠BKC = 130^{o}\). Найдите \(∠ABC\).

Ответ

40

Решение № 17213:

Для решения задачи о нахождении угла \( \angle ABC \) в остроугольном треугольнике \( ABC \), где высоты, проведённые из вершин \( A \) и \( B \), пересекаются в точке \( H \) под углом \( 120^\circ \), а биссектрисы, проведённые из вершин \( B \) и \( C \), пересекаются в точке \( K \) под углом \( 130^\circ \), выполним следующие шаги: <ol> <li>Запишем углы пересечения высот и биссектрис: \[ \angle AHB = 120^\circ \quad \text{и} \quad \angle BKC = 130^\circ \] </li> <li>Определим угол между высотами: \[ \angle AHB = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \] </li> <li>Определим угол между биссектрисами: \[ \angle BKC = 180^\circ - 130^\circ = 50^\circ \] </li> <li>Используем свойства остроугольного треугольника и теорему о сумме углов треугольника: \[ \angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ \] </li> <li>Определим углы при вершинах \( A \) и \( C \): Пусть \( \angle A = \alpha \) и \( \angle C = \gamma \). Тогда \( \angle B = \beta \). </li> <li>Используем свойства биссектрис: \[ \angle BKC = \frac{\alpha + \gamma}{2} = 50^\circ \] Таким образом, \[ \alpha + \gamma = 100^\circ \] </li> <li>Используем свойства высот: \[ \angle AHB = \frac{\alpha + \gamma}{2} = 60^\circ \] Таким образом, \[ \alpha + \gamma = 120^\circ \] </li> <li>Найдем угол \( \angle B \): \[ \beta = 180^\circ - (\alpha + \gamma) = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ \] </li> </ol> Таким образом, угол \( \angle ABC \) равен \( 80^\circ \). Ответ: \( 80^\circ \)