Экзамены с этой задачей: Треугольники общего вида

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, параллельность и сумма углов треугольника, сумма углов треугольника,

Задача в следующих классах: 7 класс

Сложность задачи : 2

Информация о книге не найдена

Условие

Один из углов треугольника равен \(\alpha\). Найдите угол между высотами, проведенными из вершин двух других углов.

Ответ

{\alpha или 180◦ − \alpha}

Решение № 17212:

Для решения задачи о нахождении угла между высотами, проведенными из вершин двух других углов треугольника, где один из углов равен \(\alpha\), выполним следующие шаги: <ol> <li>Обозначим треугольник как \(ABC\), где \(\angle A = \alpha\).</li> <li>Пусть \(BH\) и \(CK\) — высоты, проведенные из вершин \(B\) и \(C\) соответственно.</li> <li>Рассмотрим четырехугольник \(AHKC\). Поскольку \(BH\) и \(CK\) — высоты, углы \(AHB\) и \(AKC\) прямые, то есть равны \(90^\circ\).</li> <li>Следовательно, четырехугольник \(AHKC\) является вписанным, и в нем сумма противоположных углов равна \(180^\circ\).</li> <li>Углы \(AHK\) и \(ACK\) являются углами треугольника \(ABC\), то есть \(\angle AHK = \angle A\) и \(\angle ACK = \angle C\).</li> <li>Поскольку сумма углов треугольника равна \(180^\circ\), то \(\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ\).</li> <li>Тогда \(\angle B = 180^\circ - \alpha - \angle C\).</li> <li>Из вписанного четырехугольника \(AHKC\) следует, что угол между высотами \(BH\) и \(CK\) равен углу \(\angle ACK\).</li> <li>Поскольку \(\angle ACK = 90^\circ - \angle A = 90^\circ - \alpha\), то угол между высотами равен \(\pi - (90^\circ - \alpha) = 90^\circ + \alpha\).</li> </ol> Таким образом, угол между высотами, проведенными из вершин двух других углов треугольника, равен \(\pi - \alpha\). Ответ: \(\pi - \alpha\)