Экзамены с этой задачей: Треугольники общего вида

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, параллельность и сумма углов треугольника, сумма углов треугольника,

Задача в следующих классах: 7 класс

Сложность задачи : 2

Информация о книге не найдена

Условие

\(BK\) — биссектриса треугольника \(ABC\). Известно, что \(∠AKB : ∠CKB = 4 : 5\). Найдите разность углов \(A\) и \(C\) треугольника \(ABC\).

Ответ

10

Решение № 17208:

Для решения задачи о разности углов \(A\) и \(C\) треугольника \(ABC\), где \(BK\) — биссектриса треугольника \(ABC\) и известно, что \(∠AKB : ∠CKB = 4 : 5\), выполним следующие шаги: <ol> <li>Обозначим углы: Пусть \(∠AKB = 4x\) и \(∠CKB = 5x\). </li> <li>Используем свойство биссектрисы: Поскольку \(BK\) — биссектриса треугольника \(ABC\), она делит угол \(∠B\) пополам. Таким образом, \(∠ABK = ∠CBK\). </li> <li>Выразим углы \(A\) и \(C\) через \(x\): \[ ∠A = ∠BAC = ∠ABK + ∠AKB = ∠ABK + 4x \] \[ ∠C = ∠BCA = ∠CBK + ∠CKB = ∠CBK + 5x \] </li> <li>Выразим разность углов \(A\) и \(C\): \[ ∠A - ∠C = (∠ABK + 4x) - (∠CBK + 5x) \] Поскольку \(∠ABK = ∠CBK\), уравнение упрощается: \[ ∠A - ∠C = 4x - 5x = -x \] </li> <li>Найдем значение \(x\): Сумма углов \(∠AKB\) и \(∠CKB\) равна \(180^\circ\), так как это внутренние углы треугольника \(AKB\) и \(CKB\): \[ 4x + 5x = 180^\circ \] \[ 9x = 180^\circ \] \[ x = \frac{180^\circ}{9} = 20^\circ \] </li> <li>Подставим \(x\) в выражение для разности углов \(A\) и \(C\): \[ ∠A - ∠C = -x = -20^\circ \] Поскольку углы не могут быть отрицательными, мы интерпретируем это как: \[ ∠A - ∠C = 20^\circ \] </li> </ol> Таким образом, разность углов \(A\) и \(C\) треугольника \(ABC\) равна \(20^\circ\). Ответ: \(20^\circ\)