Экзамены с этой задачей: Треугольники общего вида

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, параллельность и сумма углов треугольника, сумма углов треугольника,

Задача в следующих классах: 7 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Треугольник \(ABC\) — равнобедренный \((AB = BC)\). Отрезок \(AM\) делит его на два равнобедренных треугольника с основаниями \(AB\) и \(MC\). Найдите угол \(B\).

Ответ

36

Решение № 17206:

Для решения задачи о равнобедренном треугольнике \(ABC\) с \(AB = BC\) и отрезком \(AM\), который делит треугольник на два равнобедренных треугольника с основаниями \(AB\) и \(MC\), выполним следующие шаги: <ol> <li>Запишем условие равнобедренности треугольника \(ABC\): \[ AB = BC \] </li> <li>Отрезок \(AM\) делит треугольник \(ABC\) на два равнобедренных треугольника \(ABM\) и \(AMC\). Это означает, что: \[ AB = AM \quad \text{и} \quad AM = MC \] </li> <li>Так как \(AB = BC\) и \(AM = AM\), то \(AM\) является биссектрисой треугольника \(ABC\), которая делит угол \(A\) пополам. </li> <li>Рассмотрим треугольник \(ABM\). Поскольку \(ABM\) — равнобедренный, углы при основании \(AB\) равны, то есть: \[ \angle BAM = \angle BMA \] </li> <li>Рассмотрим треугольник \(AMC\). Поскольку \(AMC\) — равнобедренный, углы при основании \(MC\) равны, то есть: \[ \angle AMC = \angle MAC \] </li> <li>Так как \(AM\) делит треугольник \(ABC\) на два равнобедренных треугольника, то угол \(BAM\) равен углу \(MAC\): \[ \angle BAM = \angle MAC \] </li> <li>Теперь рассмотрим углы треугольника \(ABC\). Пусть \(\angle BAC = \alpha\). Тогда: \[ \angle BAM = \frac{\alpha}{2} \] </li> <li>Так как треугольник \(ABC\) равнобедренный, то: \[ \angle BCA = \alpha \] </li> <li>Сумма углов треугольника \(ABC\) равна \(180^\circ\): \[ \angle BAC + \angle ABC + \angle BCA = 180^\circ \] Подставим значения углов: \[ \alpha + \angle ABC + \alpha = 180^\circ \] </li> <li>Упростим уравнение: \[ 2\alpha + \angle ABC = 180^\circ \] </li> <li>Решим уравнение относительно \(\angle ABC\): \[ \angle ABC = 180^\circ - 2\alpha \] </li> <li>Так как \(AM\) делит угол \(A\) пополам, то: \[ \alpha = \frac{\angle BAC}{2} \] Подставим это значение в уравнение: \[ \angle ABC = 180^\circ - 2 \left( \frac{\angle BAC}{2} \right) \] </li> <li>Упростим выражение: \[ \angle ABC = 180^\circ - \angle BAC \] </li> <li>Так как \(\angle BAC = \alpha\), то: \[ \angle ABC = 180^\circ - \alpha \] </li> <li>Поскольку \(\angle BAC = \alpha\) и \(\angle BCA = \alpha\), то: \[ \angle ABC = 180^\circ - 2\alpha \] </li> <li>Так как \(\angle BAC = \alpha\) и \(\angle BCA = \alpha\), то: \[ \angle ABC = 90^\circ \] </li> </ol> Таким образом, угол \(B\) в треугольнике \(ABC\) равен \(90^\circ\). Ответ: \(90^\circ\)