Экзамены с этой задачей: Треугольники общего вида

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, параллельность и сумма углов треугольника, сумма углов треугольника,

Задача в следующих классах: 7 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Прямая, проходящая через вершину \(A\) треугольника \(ABC\), пересекает сторону \(BC\) в точке \(M\), причем \(BM = AB\). Найдите разность углов \(BAM\) и \(CAM\), если \(∠ACB = 25^{o}\) .

Ответ

25

Решение № 17205:

Для решения задачи найти разность углов \( \angle BAM \) и \( \angle CAM \) в треугольнике \( ABC \), где \( BM = AB \), выполним следующие шаги: <ol> <li>Запишем условие задачи: \[ \text{Прямая, проходящая через вершину } A \text{ треугольника } ABC, \text{ пересекает сторону } BC \text{ в точке } M, \text{ причем } BM = AB. \] \[ \angle ACB = 25^\circ \] </li> <li>Определим, что треугольник \( ABM \) является равнобедренным, так как \( BM = AB \). Следовательно, углы при основании равны: \[ \angle BAM = \angle BMA \] </li> <li>Обозначим \( \angle BAM = \angle BMA = \alpha \). Тогда угол \( \angle BAC \) можно выразить через \( \alpha \): \[ \angle BAM = \alpha \] </li> <li>В треугольнике \( ABM \) сумма углов равна \( 180^\circ \): \[ \angle BAM + \angle BMA + \angle ABM = 180^\circ \] \[ \alpha + \alpha + \angle ABM = 180^\circ \] \[ 2\alpha + \angle ABM = 180^\circ \] \[ \angle ABM = 180^\circ - 2\alpha \] </li> <li>Теперь рассмотрим треугольник \( AMC \). Угол \( \angle AMC \) является внешним углом для треугольника \( BMC \), поэтому: \[ \angle AMC = \angle CBM + \angle BCA \] \[ \angle AMC = (180^\circ - 2\alpha) + 25^\circ \] \[ \angle AMC = 205^\circ - 2\alpha \] </li> <li>В треугольнике \( AMC \) сумма углов также равна \( 180^\circ \): \[ \angle CAM + \angle AMC + \angle ACB = 180^\circ \] \[ \angle CAM + (205^\circ - 2\alpha) + 25^\circ = 180^\circ \] \[ \angle CAM + 230^\circ - 2\alpha = 180^\circ \] \[ \angle CAM = 2\alpha - 50^\circ \] </li> <li>Теперь найдем разность углов \( \angle BAM \) и \( \angle CAM \): \[ \angle BAM - \angle CAM = \alpha - (2\alpha - 50^\circ) \] \[ \angle BAM - \angle CAM = \alpha - 2\alpha + 50^\circ \] \[ \angle BAM - \angle CAM = -\alpha + 50^\circ \] </li> <li>Подставим \( \alpha = 50^\circ \): \[ \angle BAM - \angle CAM = -50^\circ + 50^\circ \] \[ \angle BAM - \angle CAM = 0^\circ \] </li> </ol> Таким образом, разность углов \( \angle BAM \) и \( \angle CAM \) равна \( 0^\circ \). Ответ: \( 0^\circ \)