Экзамены с этой задачей: Треугольники общего вида

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, параллельность и сумма углов треугольника, сумма углов треугольника,

Задача в следующих классах: 7 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Прямая, проходящая через вершину \(A\) треугольника \(ABC\), пересекает сторону \(BC\) в точке \(M\). При этом \(BM = AB\), \(∠BAM = 35^{o}\) ,\(∠CAM = 15^{o}\) . Найдите углы треугольника \(ABC\).

Ответ

{20;50;110}

Решение № 17203:

Для решения задачи найдем углы треугольника \(ABC\), если прямая, проходящая через вершину \(A\), пересекает сторону \(BC\) в точке \(M\), при этом \(BM = AB\), \( \angle BAM = 35^\circ \), и \( \angle CAM = 15^\circ \). <ol> <li>Запишем известные углы: \[ \angle BAM = 35^\circ, \quad \angle CAM = 15^\circ \] </li> <li>Найдем угол \( \angle BAC \): \[ \angle BAC = \angle BAM + \angle CAM = 35^\circ + 15^\circ = 50^\circ \] </li> <li>Заметим, что \(BM = AB\), следовательно, треугольник \(ABM\) равнобедренный. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Следовательно: \[ \angle ABM = \angle AMB = \alpha \] </li> <li>Найдем угол \( \angle ABM \): \[ \angle ABM = 180^\circ - \angle BAM - \angle AMB = 180^\circ - 35^\circ - \alpha = 145^\circ - \alpha \] </li> <li>Поскольку \( \angle ABM = \alpha \), то: \[ \alpha = 145^\circ - \alpha \implies 2\alpha = 145^\circ \implies \alpha = \frac{145^\circ}{2} = 72.5^\circ \] </li> <li>Теперь найдем угол \( \angle ABC \): \[ \angle ABC = \angle ABM = 72.5^\circ \] </li> <li>Найдем угол \( \angle ACB \): \[ \angle ACB = 180^\circ - \angle BAC - \angle ABC = 180^\circ - 50^\circ - 72.5^\circ = 57.5^\circ \] </li> </ol> Таким образом, углы треугольника \(ABC\) равны: \[ \angle BAC = 50^\circ, \quad \angle ABC = 72.5^\circ, \quad \angle ACB = 57.5^\circ \] Ответ: \( \angle BAC = 50^\circ \), \( \angle ABC = 72.5^\circ \), \( \angle ACB = 57.5^\circ \).