Экзамены с этой задачей: Треугольники общего вида

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, параллельность и сумма углов треугольника, сумма углов треугольника,

Задача в следующих классах: 7 класс

Сложность задачи : 2

Информация о книге не найдена

Условие

В прямоугольном треугольнике \(ABC\) на гипотенузе \(AB\) взяты точки \(K\) и \(M\), причем \(AK = AC\) и \(BM = BC\). Найдите угол \(MCK\).

Ответ

45

Решение № 17196:

Для решения задачи о нахождении угла \(MCK\) в прямоугольном треугольнике \(ABC\) с точками \(K\) и \(M\) на гипотенузе \(AB\), где \(AK = AC\) и \(BM = BC\), выполним следующие шаги: <ol> <li>Запишем условие задачи: В прямоугольном треугольнике \(ABC\) на гипотенузе \(AB\) взяты точки \(K\) и \(M\), причем \(AK = AC\) и \(BM = BC\). </li> <li>Рассмотрим треугольник \(ACK\): Поскольку \(AK = AC\), треугольник \(ACK\) является равнобедренным. Следовательно, углы при основании равны: \[ \angle ACK = \angle AKC \] </li> <li>Рассмотрим треугольник \(BCM\): Поскольку \(BM = BC\), треугольник \(BCM\) также является равнобедренным. Следовательно, углы при основании равны: \[ \angle BCM = \angle BMC \] </li> <li>Рассмотрим углы треугольника \(ABC\): Пусть \(\angle BAC = \alpha\) и \(\angle ABC = \beta\). В прямоугольном треугольнике \(ABC\) сумма углов \(\alpha\) и \(\beta\) равна \(90^\circ\): \[ \alpha + \beta = 90^\circ \] </li> <li>Рассмотрим углы треугольника \(ACK\): Поскольку \(\angle ACK = \alpha\), то: \[ \angle AKC = 90^\circ - \frac{\alpha}{2} \] </li> <li>Рассмотрим углы треугольника \(BCM\): Поскольку \(\angle BCM = \beta\), то: \[ \angle BMC = 90^\circ - \frac{\beta}{2} \] </li> <li>Найдем угол \(MCK\): Угол \(MCK\) можно выразить как сумму углов \(\angle AKC\) и \(\angle BMC\): \[ \angle MCK = \angle AKC + \angle BMC = \left(90^\circ - \frac{\alpha}{2}\right) + \left(90^\circ - \frac{\beta}{2}\right) \] </li> <li>Подставим значения \(\alpha\) и \(\beta\): Поскольку \(\alpha + \beta = 90^\circ\), то: \[ \angle MCK = 90^\circ - \frac{\alpha}{2} + 90^\circ - \frac{\beta}{2} = 180^\circ - \frac{\alpha + \beta}{2} = 180^\circ - \frac{90^\circ}{2} = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ \] </li> <li>Заключение: Таким образом, угол \(MCK\) равен \(135^\circ\). </li> </ol> Ответ: \(135^\circ\)