Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, параллельность и сумма углов треугольника, свойства и признаки параллельности двух прямых,
Задача в следующих классах: 7 класс
Сложность задачи : 2
Информация о книге не найдена
Условие
Докажите, что биссектриса внешнего угла при вершине равнобедренного треугольника параллельна основанию. Верно ли обратное?
Ответ
Да
Решение № 17192:
Для доказательства того, что биссектриса внешнего угла при вершине равнобедренного треугольника параллельна основанию, и проверки обратного утверждения, выполним следующие шаги: <ol> <li>Рассмотрим равнобедренный треугольник \(ABC\) с вершиной \(A\). Пусть \(AB = AC\).</li> <li>Пусть \(D\) — точка пересечения продолжения сторон \(AB\) и \(AC\) за пределами треугольника \(ABC\).</li> <li>Пусть \(E\) — точка пересечения биссектрисы внешнего угла \(\angle BAC\) с основанием \(BC\).</li> <li>Рассмотрим треугольник \(ADE\). Поскольку \(AD\) и \(AE\) являются продолжениями сторон \(AB\) и \(AC\), то \(AD = AE\).</li> <li>Так как \(AD = AE\), треугольник \(ADE\) является равнобедренным с \(AD = AE\).</li> <li>Следовательно, угол \(\angle ADE\) равен углу \(\angle AEB\).</li> <li>Поскольку \(DE\) является биссектрисой внешнего угла \(\angle BAC\), угол \(\angle ADE\) равен углу \(\angle AEB\).</li> <li>Таким образом, \(DE\) параллельна \(BC\), так как соответствующие углы равны.</li> </ol> Теперь проверим обратное утверждение: если биссектриса внешнего угла параллельна основанию, то треугольник является равнобедренным. <ol> <li>Пусть треугольник \(ABC\) таков, что биссектриса внешнего угла \(\angle BAC\) параллельна основанию \(BC\).</li> <li>Пусть \(D\) — точка пересечения продолжения сторон \(AB\) и \(AC\) за пределами треугольника \(ABC\).</li> <li>Пусть \(E\) — точка пересечения биссектрисы внешнего угла \(\angle BAC\) с основанием \(BC\).</li> <li>Поскольку \(DE\) параллельна \(BC\), углы \(\angle ADE\) и \(\angle AEB\) равны.</li> <li>Так как \(DE\) является биссектрисой внешнего угла \(\angle BAC\), угол \(\angle ADE\) равен углу \(\angle AEB\).</li> <li>Следовательно, треугольник \(ADE\) является равнобедренным с \(AD = AE\).</li> <li>Таким образом, \(AB = AC\), и треугольник \(ABC\) является равнобедренным.</li> </ol> Таким образом, биссектриса внешнего угла при вершине равнобедренного треугольника параллельна основанию, и обратное утверждение также верно. Ответ: Оба утверждения верны.