№17183

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники. Признаки равенства треугольников, свойства равных треугольников, треугольники,

Задача в следующих классах: 7 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Докажите, что в равных треугольниках соответствующие биссектрисы равны.

Ответ

NaN

Решение № 17181:

Докажем, что в равных треугольниках соответствующие биссектрисы равны. <ol> <li>Пусть треугольники \(ABC\) и \(A'B'C'\) равны, то есть \( \triangle ABC \cong \triangle A'B'C' \).</li> <li>Пусть \(AD\) и \(A'D'\) — биссектрисы треугольников \(ABC\) и \(A'B'C'\) соответственно, выходящие из вершин \(A\) и \(A'\).</li> <li>Поскольку треугольники \(ABC\) и \(A'B'C'\) равны, то \( \angle BAC = \angle B'A'C' \).</li> <li>Биссектриса \(AD\) делит угол \( \angle BAC \) пополам, поэтому \( \angle BAD = \angle CAD \).</li> <li>Аналогично, биссектриса \(A'D'\) делит угол \( \angle B'A'C' \) пополам, поэтому \( \angle B'A'D' = \angle C'A'D' \).</li> <li>Так как \( \angle BAC = \angle B'A'C' \), то \( \angle BAD = \angle B'A'D' \) и \( \angle CAD = \angle C'A'D' \).</li> <li>Рассмотрим треугольники \(ABD\) и \(A'B'D'\).</li> <li>В треугольниках \(ABD\) и \(A'B'D'\): <ul> <li>\(AB = A'B'\) (по условию равенства треугольников \(ABC\) и \(A'B'C'\)),</li> <li>\(AD = A'D'\) (по условию равенства треугольников \(ABC\) и \(A'B'C'\)),</li> <li>\( \angle BAD = \angle B'A'D' \) (по определению биссектрисы).</li> </ul> </li> <li>Следовательно, треугольники \(ABD\) и \(A'B'D'\) равны по двум сторонам и углу между ними (теорема о равенстве треугольников по двум сторонам и углу между ними).</li> <li>Так как треугольники \(ABD\) и \(A'B'D'\) равны, то \(BD = B'D'\).</li> <li>Таким образом, биссектрисы \(AD\) и \(A'D'\) равны, то есть \(AD = A'D'\).</li> </ol> Таким образом, мы доказали, что в равных треугольниках соответствующие биссектрисы равны.