№17148

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Действительные числа, Иррациональные выражения, упрощение иррациональных алгебраических выражений,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге: Егерев В. К., Зайцев В. В., Кордемский Б. А., Маслова Т. Н., Орловская И. Ф., Позойский Р. И., Ряховская Г. С., Сканави М. И. Сборник задач по математике для конкурсных экзаменов во ВТУЗы / Под общей редакцией М. И. Сканави. — М.: Высшая школа, 1969. — 382 с.

Условие

Доказать, что: а)сумма кубов трех последовательных натуральных чисел делится на 9 б) число p^{5}-p делится на 5 при любом натуральном значении p в) число k^{3}+5k делится на 3 при натуральном k

Ответ

ЧТД

Решение № 17146:

а)Среди трех последовательных натуральныз чисел n-1,n,n+1 одно всегда делится на 3. Имеем \left ( n-1 \right )^{3}+n^{3}+\left ( n+1 \right )^{3}=n^{3}-3n^{2}+3n-1+n^{3}+n^{3}+3n^{2}+3n+1=3\left ( n-1 \right )n\left ( n+1 \right )+9n=3m+9n m\vdots 3\Rightarrow 3m\vdots 9 и сумма делится на 9 б) Среди пяти целых чисел одно всгда делится на 5. Имеем p^{5}-p=\left ( p^{4}-1 \right )p=\left ( p^{2}-1 \right )\left ( p^{2} +1\right )p=\left ( p-1 \right )p\left ( p+1 \right )\left ( p^{2}-4+5 \right )=\left ( p-2 \right )\left ( p-1 \right )\left ( p+2 \right )\left ( p+1 \right )p+5\left ( p-1 \right )p\left ( p+1 \right ) Первое слагаемое делится на 5 как произведение пяти последовательных целых чисел, а значит, и сумма кратна пяти в) k^{3}+5k=k\left ( k^{2}+5 \right )=k\left ( k^{2}-1+6 \right )=\left ( k-1 \right )k\left ( k+1 \right )+6k Первое слагаемое делится на 3 как произведение трех последовательных целых чисела, а значит, и сумма кратна трем