№17127

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Действительные числа, Иррациональные выражения, упрощение иррациональных алгебраических выражений,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Сделать указанную подстановку и упростить результат \(\frac{2a\sqrt{1+x^{2}}}{x+\sqrt{1+x^{2}}}; x=\frac{1}{2}\left ( \sqrt{\frac{a}{b}-\sqrt{\frac{b}{a}}} \right );\)

Ответ

\(a+b\)

Решение № 17125:

\(\frac{2a\sqrt{1+x^{2}}}{x+\sqrt{1+x^{2}}}; x=\frac{1}{2}\left ( \sqrt{\frac{a}{b}-\sqrt{\frac{b}{a}}} \right );=\frac{2a\sqrt{1+\left (\frac{1}{2}\left ( \sqrt{\frac{a}{b}-\sqrt{\frac{b}{a}}} \right )^{2}}}{\frac{1}{2}\left ( \sqrt{\frac{a}{b}-\sqrt{\frac{b}{a}}}+\sqrt{1+\left ( \frac{1}{2}\left ( \sqrt{\frac{a}{b}+\sqrt{\frac{b}{a}}} \right )^{2}}}=\frac{2a\sqrt{1+\frac{a^{2}-2ab+b^{2}}{4ab}}}{\frac{a-b}{2\sqrt{ab}}+\sqrt{1+\frac{a^{2}+2ab+b^{2}}{4ab}}}=\frac{a\left ( a+b \right )}{\sqrt{ab}}:\left ( \frac{a-b+a+b}{2\sqrt{ab}} \right )=\frac{a\left ( a+b \right )}{\sqrt{ab}}:\frac{2a}{2\sqrt{ab}}=\frac{a\left ( a+b \right )}{\sqrt{ab}}\cdot \frac{\sqrt{ab}}{a}=a+b\)