№16925

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Действительные числа, Иррациональные выражения, упрощение иррациональных алгебраических выражений,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Упростить выражение и вычислить \(\frac{1+z}{1+\sqrt{1+z}}-\frac{1-z}{1-\sqrt{1-z}}\)

Ответ

\(\frac{\sqrt{3}}{3}\)

Решение № 16923:

\(\frac{1+z}{1+\sqrt{1+z}}-\frac{1-z}{1-\sqrt{1-z}}=\frac{1-\sqrt{1+z}+z-z\sqrt{1+z}}{1-1-z}-\frac{1+\sqrt{1+z}+z-z\sqrt{1+z}}{1-1+z}=\frac{1+z-\sqrt{1+z}\left ( 1+z \right )}{-z}-\frac{1-z+\sqrt{1-z}\left ( 1-z \right )}{z}=\frac{\sqrt{\left ( 1+z \right )^{3}}-\sqrt{\left ( 1-z \right )^{3}}-2}{z}=\frac{\sqrt{2-2\sqrt{1-z^{2}}}\left ( 2+\sqrt{1-z^{2}} \right )}{z}-\frac{2}{z}=\frac{\sqrt{2-2\sqrt{1-\frac{3}{4}}}\left ( 2+\sqrt{\frac{1}{4}} \right )-2}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{1}{2}:\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}\)