№16922

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Действительные числа, Иррациональные выражения, упрощение иррациональных алгебраических выражений,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Упростить выражение и вычислить \(\left ( \frac{\left ( 1+a^{-\frac{1}{2}} \right )^{\frac{1}{6}}}{\left ( a^{\frac{1}{2}}+1 \right )^{-\frac{1}{3}}}-\frac{\left ( a^{\frac{1}{2}}-1 \right )^{\frac{1}{3}}}{\left ( 1-a^{-\frac{1}{2}} \right )^{-\frac{1}{6}}} \right )^{-2}\cdot \frac{\frac{1}{3}a^{\frac{1}{12}}}{\sqrt{a}+\sqrt{a-1}}\)

Ответ

\(\frac{\sqrt[4]{a}}{6}\)

Решение № 16920:

\(\left ( \frac{\left ( 1+a^{-\frac{1}{2}} \right )^{\frac{1}{6}}}{\left ( a^{\frac{1}{2}}+1 \right )^{-\frac{1}{3}}}-\frac{\left ( a^{\frac{1}{2}}-1 \right )^{\frac{1}{3}}}{\left ( 1-a^{-\frac{1}{2}} \right )^{-\frac{1}{6}}} \right )^{-2}\cdot \frac{\frac{1}{3}a^{\frac{1}{12}}}{\sqrt{a}+\sqrt{a-1}}=\left ( \sqrt[6]{\frac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}}}\sqrt[6]{\left ( \sqrt{a}+1 \right )^{2}}-\sqrt[6]{\left ( \sqrt{a}-1 \right )^{2}}\sqrt[6]{\frac{\sqrt{a}-1}{\sqrt{a}}} \right )^{-2}\frac{\sqrt[12]{a}}{3\left ( \sqrt{a}+\sqrt{a-1} \right )}=\left ( \frac{\sqrt{\sqrt{a}+1}-\sqrt{\sqrt{a}-1}}{\sqrt[12]{a}} \right )^{-2}\cdot \frac{\sqrt[12]{a}}{3\left ( \sqrt{a}+\sqrt{a-1} \right )}=\frac{\sqrt[6]{a}}{2\left ( \sqrt{a}-\sqrt{a-1} \right )}\cdot \frac{\sqrt[12]{a}}{3\left ( \sqrt{a}+\sqrt{a-1} \right )}=\frac{\sqrt[4]{a}}{6\left ( a-a+1 \right )}=\frac{\sqrt[4]{a}}{6}\)