№16913

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Действительные числа, Иррациональные выражения, упрощение иррациональных алгебраических выражений,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Упростить выражение \(\frac{\left ( \sqrt{a^{2}+a\sqrt{a^{2}-b^{2}}} \right )-\left ( \sqrt{a^{2}-a\sqrt{a^{2}-b^{2}}} \right )^{2}}{2\sqrt{a^{3}b}}\cdot \left ( \sqrt{\frac{a}{b}}+\sqrt{\frac{b}{a}}-2 \right )\)

Ответ

\(\frac{\left ( \sqrt{a}+\sqrt{b} \right )^{2}}{a-b}\)

Решение № 16911:

\(\frac{\left ( \sqrt{a^{2}+a\sqrt{a^{2}-b^{2}}} \right )-\left ( \sqrt{a^{2}-a\sqrt{a^{2}-b^{2}}} \right )^{2}}{2\sqrt{a^{3}b}}\cdot \left ( \sqrt{\frac{a}{b}}+\sqrt{\frac{b}{a}}-2 \right ) Х=\frac{\left ( \sqrt{a^{2}+a\sqrt{a^{2}-b^{2}}} \right )-\left ( \sqrt{a^{2}-a\sqrt{a^{2}-b^{2}}} \right )^{2}}{2\sqrt{a^{3}b}}=\frac{\left ( \sqrt{a\left ( a+\sqrt{a^{2}-b^{2}} \right )-\sqrt{a\left ( a-\sqrt{a^{2}-b^{2}}\right} \right )^{2}}{2a\sqrt{ab}}=\frac{a\left ( a+\sqrt{a^{2}-b^{2}}-2\sqrt{a^{2}-a^{2}+b^{2}}+a-\sqrt{a^{2}-b^{2}} \right )}{2a\sqrt{ab}}=\frac{2a-2b}{2a\sqrt{ab}}=\frac{a-b}{\sqrt{ab}} Y=\sqrt{\frac{a}{b}}+\sqrt{\frac{b}{a}}-2=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}+\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}}-2}=\frac{\left ( \sqrt{a}\right )^{2}-2\sqrt{ab}+\left ( \sqrt{b} \right )^{2}}{\sqrt{ab }}=\frac{\left ( \sqrt{a}-\sqrt{b} \right )^{2}}{\sqrt{ab}} X:Y=\frac{a-b}{\sqrt{ab}}:\frac{\left ( \sqrt{a}-\sqrt{b} \right )^{2}}{\sqrt{ab}}=\frac{\left ( a-b \right )\sqrt{ab}}{\sqrt{ab}\left ( \sqrt{a}-\sqrt{b} \right )^{2}}=\frac{a-b}{\left ( \sqrt{a}-\sqrt{b} \right )^{2}}= \frac{\left ( \sqrt{a}+\sqrt{b} \right )^{2}}{a-b}\)