№16096

Экзамены с этой задачей: Преобразования буквенных иррациональных выражений 

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Действительные числа, Иррациональные выражения, упрощение иррациональных алгебраических выражений,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Упростить выражение и вычислить \(\left ( \frac{\sqrt{1+x}}{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}+\frac{1-x}{\sqrt{1-x^{2}}-1+x} \right )\left ( \sqrt{\frac{1}{x^{2}}-1}-\frac{1}{x} \right )\)

Ответ

-1

Решение № 16094:

\(\left ( \frac{\sqrt{1+x}}{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}+\frac{1-x}{\sqrt{1-x^{2}}-1+x} \right )\left ( \sqrt{\frac{1}{x^{2}}-1}-\frac{1}{x} \right )=\frac{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}\cdot \frac{\sqrt{1-x^{2}}-1}{x}=\frac{\left ( \sqrt{1+x}+\sqrt{1-x} \right )\left ( \sqrt{1+x}+\sqrt{1-x} \right )}{\left ( \sqrt{1+x}-\sqrt{1-x} \right )\left ( \sqrt{1+x}+\sqrt{1-x} \right )}\cdot \frac{\sqrt{1-x^{2}}-1}{x}=\frac{1+x+2\sqrt{1-x^{2}}+1-x}{1+x-1+x}\cdot \frac{\sqrt{1-x^{2}}-1}{x}=\frac{\left ( \sqrt{1-x^{2}} \right )^{2}-1}{x^{2}}=\frac{1-x^{2}-1}{x^{2}}=-\frac{x^{2}}{x^{2}}=-1\)