№16085

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебраические дроби, преобразование и вычисление алгебраических выражений,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Упростить выражение \(\frac{\left ( ab^{-1}+a^{-1}b+1 \right )\left ( a^{-1}-b^{-1} \right )^{2}}{a^{2}b^{-2}+a^{-2}b^{2}-\left ( ab^{-1}+a^{-1}b \right )}\)

Ответ

\(\frac{1}{ab}\)

Решение № 16083:

\(\frac{\left ( ab^{-1}+a^{-1}b+1 \right )\left ( a^{-1}-b^{-1} \right )^{2}}{a^{2}b^{-2}+a^{-2}b^{2}-\left ( ab^{-1}+a^{-1}b \right )}=\frac{\left ( \frac{a}{b}+\frac{b}{a}+1 \right )\left ( \frac{1}{a}-\frac{1}{b} \right )^{2}}{\frac{a^{2}}{b^{2}}+\frac{a^{2}}{b^{2}}-\left ( \frac{a}{b}+\frac{b}{a} \right )}=\frac{\left ( a^{2}+ab+b^{2} \right )\left ( a-b \right )^{2}}{a^{3}b^{3}}\cdot \frac{a^{2}b^{2}}{\left ( a^{4}-a^{3}b \right )-\left ( ab^{3}-b^{4} \right )}=\frac{\left ( a^{2}+ab+b^{2} \right )\left ( a-b \right )^{2}}{ab\left ( a-b \right )\left ( a^{3}-b^{3} \right )}=\frac{1}{ab}\)