№15987

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, начальные тригонометрические сведения, углы. Измерение углов, угол между стрелками часов,

Задача в следующих классах: 7 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Прасолов В.В. Задачи повышенной сложности. 7 класс: учебное пособие для общеобразовательнх организаций. М. Просвещение,2019 - 80 с. ISBN 978-5-09-064083-1.

Условие

Из точки \(О\) выходят лучи \(ОА\), \(ОВ\), \(ОС\) и \(ОD\) следующие друг за другом по часовой стрелке. Сумма углов \(АОВ\) и \(COD\) равна 180^{\circ} . Найдите угол между биссектрисами углов \(АОС\) и \(ВОD\)

Ответ

90^{\circ}

Решение № 15985:

Пусть \(\angle AOB = 2\alpha , \angle BOC = 2\beta , \angle COD = 2\gamma\) . По условию \(2\alpha +2\gamma =180^{\circ}\). На биссектрисах \(AOC\) \(BOD\) или на их продолжениях можно выбрать точки \(K\) и \(M\) так, что \(\angle KOC=\alpha +\beta и \angle BOM = \beta + \gamma\) . Поэтому \(\angle KOM = \angle KOC + \angle BOM - \angle BOC = \left ( \alpha +\beta \right )+\left ( \beta +\gamma \right )- 2\beta = \alpha +\gamma =90^{\circ}\).