№15983

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, начальные тригонометрические сведения, углы. Измерение углов, биссектриса угла,

Задача в следующих классах: 7 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Из точки \(О\) проведены лучи \(ОА\), \(ОВ\) и \(ОС\) так, что \(\angle AOB=140^{\circ} ,\angle BOC=60^{\circ}\) и \(\angle AOC=80^{\circ}\) . Найдите угол между биссектрисами углов \(АОС\) и \(BOC\).

Ответ

70^{\circ}

Решение № 15981:

Для доказательства того, что угол \(M O C\) равен полусумме углов \(A O M\) и \(B O M\), выполним следующие шаги: <ol> <li>Обозначим углы: Пусть \(\angle A O M = \alpha\) и \(\angle B O M = \beta\). </li> <li>Заметим, что \(O C\) — биссектриса угла \(A O B\), то есть она делит угол \(A O B\) пополам. </li> <li>Сумма углов \(A O M\) и \(B O M\) равна углу \(A O B\): \[ \alpha + \beta = \angle A O B \] </li> <li>Так как \(O C\) — биссектриса угла \(A O B\), то: \[ \angle A O C = \angle B O C = \frac{\angle A O B}{2} \] </li> <li>Теперь выразим угол \(M O C\) через углы \(\alpha\) и \(\beta\): \[ \angle M O C = \angle A O C - \angle A O M = \frac{\angle A O B}{2} - \alpha \] </li> <li>Подставим выражение для \(\angle A O B\): \[ \angle M O C = \frac{\alpha + \beta}{2} - \alpha = \frac{\alpha + \beta - 2\alpha}{2} = \frac{\beta - \alpha}{2} \] </li> <li>Также можно выразить \(\angle M O C\) через угол \(\beta\): \[ \angle M O C = \angle B O C - \angle B O M = \frac{\angle A O B}{2} - \beta \] </li> <li>Подставим выражение для \(\angle A O B\): \[ \angle M O C = \frac{\alpha + \beta}{2} - \beta = \frac{\alpha + \beta - 2\beta}{2} = \frac{\alpha - \beta}{2} \] </li> <li>Теперь сложим оба выражения для \(\angle M O C\): \[ \frac{\beta - \alpha}{2} + \frac{\alpha - \beta}{2} = \frac{\beta - \alpha + \alpha - \beta}{2} = \frac{0}{2} = 0 \] </li> <li>Следовательно, \(\angle M O C\) равен полусумме углов \(\alpha\) и \(\beta\): \[ \angle M O C = \frac{\alpha + \beta}{2} \] </li> </ol> Таким образом, угол \(M O C\) равен полусумме углов \(A O M\) и \(B O M\). Ответ: угол \(M O C\) равен полусумме углов \(A O M\) и \(B O M\).