Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, начальные тригонометрические сведения, углы. Измерение углов, Смежные углы,

Задача в следующих классах: 7 класс

Сложность задачи : 2

Информация о книге не найдена

Условие

Из точки на лист бумаги провели четыре луча, делящих плоскость на четыре угла. Затем лист разрезали по биссектрисам этих углов на четыре части (которые также являются углами). Докажите, что два из этих углов образуют в сумме \(180^{o}\), и два других — тоже.

Ответ

NaN

Решение № 15980:

Для решения задачи о четырех углах, разрезанных по биссектрисам, выполним следующие шаги: <ol> <li>Рассмотрим точку \(O\) на листе бумаги, из которой проведены четыре луча, образующие четыре угла \(AOB\), \(BOC\), \(COD\) и \(DOA\).</li> <li>Пусть углы \(AOB\), \(BOC\), \(COD\) и \(DOA\) равны \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\) и \(\delta\) соответственно. Сумма этих углов равна \(360^\circ\): \[ \alpha + \beta + \gamma + \delta = 360^\circ \] </li> <li>Разрежем лист по биссектрисам этих углов. Биссектрисы делят каждый угол пополам, образуя четыре новых угла, равных \(\frac{\alpha}{2}\), \(\frac{\beta}{2}\), \(\frac{\gamma}{2}\) и \(\frac{\delta}{2}\).</li> <li>Сложим попарно эти новые углы: \[ \left(\frac{\alpha}{2} + \frac{\gamma}{2}\right) + \left(\frac{\beta}{2} + \frac{\delta}{2}\right) = \frac{\alpha + \gamma}{2} + \frac{\beta + \delta}{2} \] </li> <li>Так как сумма всех исходных углов равна \(360^\circ\), то: \[ \alpha + \beta + \gamma + \delta = 360^\circ \] </li> <li>Разделим обе части уравнения на 2: \[ \frac{\alpha + \gamma}{2} + \frac{\beta + \delta}{2} = \frac{360^\circ}{2} = 180^\circ \] </li> <li>Таким образом, сумма двух пар новых углов равна \(180^\circ\): \[ \frac{\alpha}{2} + \frac{\gamma}{2} = 90^\circ \quad \text{и} \quad \frac{\beta}{2} + \frac{\delta}{2} = 90^\circ \] или \[ \frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2} = 90^\circ \quad \text{и} \quad \frac{\gamma}{2} + \frac{\delta}{2} = 90^\circ \] </li> </ol> Таким образом, доказано, что два из этих углов образуют в сумме \(180^\circ\), и два других — тоже.