Задача №15771

№15771

Экзамены с этой задачей: Уравнения смешанного типа

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, смешанные логарифмические и показательные выражения и уравнения,

Задача в следующих классах: 10 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Егерев В. К., Зайцев В. В., Кордемский Б. А., Маслова Т. Н., Орловская И. Ф., Позойский Р. И., Ряховская Г. С., Сканави М. И. Сборник задач по математике для конкурсных экзаменов во ВТУЗы / Под общей редакцией М. И. Сканави. — М.: Высшая школа, 1969. — 382 с.

Условие

Решить уравнения: \( \sqrt{\log _{0.04}x+1}+\sqrt{\log _{0.2}x+3}=1 \)

Ответ

25

Решение № 15769:

ОДЗ: \( \left\{\begin{matrix} \frac{1}{2}\log _{0.2}x+1\geq 0, & & & \\ \log _{0.2}+3\geq 0 & & & \\ x> 0 & & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow 0< x\leq 25 \) Перейдем к основанию 0,2. Имеем \( \sqrt{\frac{1}{2}\log _{0.2}x+1}+\sqrt{\log _{0.2}x+3}=1\Leftrightarrow \sqrt{\log _{0.2}x+2}+\sqrt{\log _{0.2}x+6}=\sqrt{2} \) Возведя обе части уравнения в квадрат, получим \( \log _{0.2}x+2+2\sqrt{\left ( \log _{0.2}x+2 \right \)left ( 2\log _{0.2}x+6 \right )}+2\log _{0.2}x+6=2\Leftrightarrow 2\sqrt{\left ( \log _{0.2}x+2 \right \)left ( 2\log _{0.2}x+6 \right )}=-3\log _{0.2}x-6\Rightarrow 4\left ( \log _{0.2}x+2 \right \)left ( 2\log _{0.2}x+6 \right )=9\left ( \log _{0.2}x+2 \right )^{2} , -3\log _{0.2}x-6\geq 0\Leftrightarrow \log _{0.2}x+2\leq 0 \) С учетом ОДЗ имеем \( \log _{0.2}x+2=0 \), откуда \( x=25 \)

Поделиться в социальных сетях

Комментарии (0)