№15767

Экзамены с этой задачей: Уравнения смешанного типа

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, смешанные логарифмические и показательные выражения и уравнения,

Задача в следующих классах: 10 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Решить уравнения: \( \log _{4}\log _{2}x+\log _{4}\log _{2}x=2 \)

Ответ

16

Решение № 15765:

ОДЗ: \( \left\{\begin{matrix} \log _{2}x> 0, & & \\ \log _{4}x> 0, & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow x> 1 \) Перейдем к основанию 2. Имеем \( \frac{1}{2}\log _{2}\log _{2}x+\log _{2}\left ( \frac{1}{2}\log _{2}x \right )=2 \Leftrightarrow \log _{2}\log _{2}x+2\log _{2}\left ( \frac{1}{2}\log _{2}x \right )=4 \Leftrightarrow \log _{2}\log _{2}x+\log _{2}\left ( \frac{1}{4}\log _{2}^{2}x \right )=4 \Leftrightarrow \log _{2}\left ( \log _{2}x*\frac{1}{4}\log _{2}^{2}x \right )=4 \Leftrightarrow \frac{1}{4}\log _{2}^{3}x=16, \log _{2}^{3}x=64 \) Тогда \( \log _{2}x=4, x=2^{4}=16 \)