№15669

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Последовательность, Геометрическая прогрессия, Сумма п первых членов геометрической прогрессии,

Задача в следующих классах: 9 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Мордкович

Условие

Сумма первых трех членов геометрической прогрессии равна 91. Если к этим числам прибавить соответственно 25, 27 и 1, то получатся три числа, являющиеся последовательными членами некоторой арифметической прогрессии. Найдите седьмой член исходной геометрической прогрессии, если известно, что он меньше 1000.

Ответ

NaN

Решение № 15667:

\(b_{1}\),\(b_{2}\),\(b_{3}\) - геометрическая прогрессия. \(b_{1}+b_{2}+b_{3}=91\), \(b_{1}+25\), \(b_{2}+27\), \(b_{3}+1\)- арифмитическая прогрессия. Тогда \(b_{1}+25+b_{3}+1 = 2(b_{2}+27\), причем \(b_{1}+25> b_{2}+27> b_{3}+1\) Тогда \(3b_{2}+28=91\), \(b_{2}=21\) Так что \(b_{1}+b_{3}=70\) и \(b_{1}b_{3}=b_{2}^{2}=441\), так что \(b_{1} = 7\), \(b_{3} = 63\) или \(b_{2} = 7\), \(b_{1} =63\). Так как \(b_{1}+25> b_{3}+1\), то \(b_{1}=63\), а \(b_{3} = 7\). Тогда \(q=b_{2}:b_{1} = \frac{1}{3}\), и \(b_{7}=b_{1}*q^{6} = 63*\frac{1}{3^{6}} = \frac{7}{81}\)