№14602

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, логарифм числа, Свойства логарифмов,

Задача в следующих классах: 10 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Упростите: \(64^{-(log_{\frac{1}{3}}2)(log_{\frac{1}{4}}9)+4}\)

Ответ

64^{3}

Решение № 14600:

Пошаговое решение задачи Упростите: \(64^{-(\log_{\frac{1}{3}}2)(\log_{\frac{1}{4}}9)+4}\) выглядит так: <ol> <li>Выразим логарифмы с основанием меньше единицы через логарифмы с положительным основанием:</li> <ul> <li>\(\log_{\frac{1}{3}}2 = -\log_{3}2\)</li> <li>\(\log_{\frac{1}{4}}9 = -\log_{4}9\)</li> </ul> <li>Подставим эти выражения в исходное уравнение:</li> \[64^{-(-\log_{3}2)(-\log_{4}9)+4}\] <li>Упростим произведение логарифмов:</li> \[64^{-(\log_{3}2)(\log_{4}9)+4}\] <li>Выразим логарифмы через логарифмы с основанием 2:</li> <ul> <li>\(\log_{3}2 = \frac{\log_{2}2}{\log_{2}3} = \frac{1}{\log_{2}3}\)</li> <li>\(\log_{4}9 = \frac{\log_{2}9}{\log_{2}4} = \frac{\log_{2}3^2}{\log_{2}2^2} = \frac{2\log_{2}3}{2} = \log_{2}3\)</li> </ul> <li>Подставим эти выражения в уравнение:</li> \[64^{-(\frac{1}{\log_{2}3})(\log_{2}3)+4}\] <li>Упростим произведение логарифмов:</li> \[64^{-(1)+4}\] <li>Упростим показатель степени:</li> \[64^{3}\] <li>Выразим 64 как степень двойки:</li> \[64 = 2^6\] <li>Подставим это в уравнение:</li> \[(2^6)^3\] <li>Применим свойство степеней: \((a^m)^n = a^{mn}\):</li> \[2^{6 \cdot 3} = 2^{18}\] <li>Таким образом, упрощенное выражение равно:</li> \[2^{18}\] </ol> Итак, \(64^{-(\log_{\frac{1}{3}}2)(\log_{\frac{1}{4}}9)+4} = 2^{18}\).