№14593

Экзамены с этой задачей: Преобразования числовых логарифмических выражений

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, логарифм числа, Свойства логарифмов,

Задача в следующих классах: 10 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Упростите: \(4\cdot 5^{log_{6}10-2}\)

Ответ

1.6

Решение № 14591:

Пошаговое решение задачи Упростите: \(4 \cdot 5^{\log_{6} 10 - 2}\) выглядит так: <ol> <li> Разделим выражение на части: \(4 \cdot 5^{\log_{6} 10 - 2}\).</li> <li> Вспомним свойство логарифмов: \(a^{\log_{b} c} = c^{\log_{b} a}\).</li> <li> Применим это свойство к выражению \(5^{\log_{6} 10}\): \(5^{\log_{6} 10} = 10^{\log_{6} 5}\).</li> <li> Теперь у нас есть выражение: \(4 \cdot 10^{\log_{6} 5 - 2}\).</li> <li> Вспомним свойство логарифмов: \(\log_{a} b - \log_{a} c = \log_{a} \left(\frac{b}{c}\right)\).</li> <li> Применим это свойство к выражению \(\log_{6} 5 - 2\): \(\log_{6} 5 - \log_{6} 6^2 = \log_{6} \left(\frac{5}{36}\right)\).</li> <li> Теперь у нас есть выражение: \(4 \cdot 10^{\log_{6} \left(\frac{5}{36}\right)}\).</li> <li> Вспомним свойство логарифмов: \(a^{\log_{b} c} = c^{\log_{b} a}\).</li> <li> Применим это свойство к выражению \(10^{\log_{6} \left(\frac{5}{36}\right)}\): \(10^{\log_{6} \left(\frac{5}{36}\right)} = \left(\frac{5}{36}\right)^{\log_{6} 10}\).</li> <li> Теперь у нас есть выражение: \(4 \cdot \left(\frac{5}{36}\right)^{\log_{6} 10}\).</li> <li> Вспомним свойство логарифмов: \(\log_{a} b \cdot \log_{b} a = 1\).</li> <li> Применим это свойство к выражению \(\log_{6} 10\): \(\log_{6} 10 \cdot \log_{10} 6 = 1\).</li> <li> Таким образом, \(\log_{6} 10 = \frac{1}{\log_{10} 6}\).</li> <li> Теперь у нас есть выражение: \(4 \cdot \left(\frac{5}{36}\right)^{\frac{1}{\log_{10} 6}}\).</li> <li> Вспомним свойство логарифмов: \(a^{\frac{1}{b}} = \sqrt[b]{a}\).</li> <li> Применим это свойство к выражению \(\left(\frac{5}{36}\right)^{\frac{1}{\log_{10} 6}}\): \(\left(\frac{5}{36}\right)^{\frac{1}{\log_{10} 6}} = \sqrt[\log_{10} 6]{\frac{5}{36}}\).</li> <li> Таким образом, \(4 \cdot \sqrt[\log_{10} 6]{\frac{5}{36}}\).</li> </ol> Если записать математически, то ответ будет выглядеть так: \[4 \cdot 5^{\log_{6} 10 - 2} = 4 \cdot 10^{\log_{6} 5 - 2} = 4 \cdot 10^{\log_{6} \left(\frac{5}{36}\right)} = 4 \cdot \left(\frac{5}{36}\right)^{\log_{6} 10} = 4 \cdot \left(\frac{5}{36}\right)^{\frac{1}{\log_{10} 6}} = 4 \cdot \sqrt[\log_{10} 6]{\frac{5}{36}}\]