№14585

Экзамены с этой задачей: Преобразования числовых логарифмических выражений

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, логарифм числа, Свойства логарифмов,

Задача в следующих классах: 10 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Упростите: \(7^{log_{7^{\sqrt{7}}}27}\)

Ответ

9

Решение № 14583:

Пошаговое решение задачи Упростите: \(7^{\log_{7^{\sqrt{7}}} 27}\) выглядит так: <ol> <li> Вспомним определение логарифма: \(\log_{a} b = c\) означает, что \(a^c = b\).</li> <li> Применим это определение к нашему выражению: \(\log_{7^{\sqrt{7}}} 27 = x\) означает, что \((7^{\sqrt{7}})^x = 27\).</li> <li> Представим 27 в виде степени 7: \(27 = 7^3\).</li> <li> Получаем уравнение: \((7^{\sqrt{7}})^x = 7^3\).</li> <li> Используем свойство степеней: \((a^m)^n = a^{m \cdot n}\), тогда \((7^{\sqrt{7}})^x = 7^{\sqrt{7} \cdot x}\).</li> <li> Приравняем показатели степени: \(\sqrt{7} \cdot x = 3\).</li> <li> Решим уравнение для \(x\): \(x = \frac{3}{\sqrt{7}}\).</li> <li> Теперь подставим \(x\) обратно в исходное выражение: \(7^{\log_{7^{\sqrt{7}}} 27} = 7^{\frac{3}{\sqrt{7}}}\).</li> <li> Упростим выражение: \(7^{\frac{3}{\sqrt{7}}} = 7^{\frac{3}{\sqrt{7}} \cdot \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}} = 7^{\frac{3\sqrt{7}}{7}}\).</li> <li> Таким образом, \(7^{\log_{7^{\sqrt{7}}} 27} = 7^{\frac{3\sqrt{7}}{7}}\).</li> </ol> Если записать математически, то ответ будет выглядеть так: \[ 7^{\log_{7^{\sqrt{7}}} 27} = 7^{\frac{3}{\sqrt{7}}} = 7^{\frac{3\sqrt{7}}{7}} \]