№14483

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, Обратные тригонометрические функции,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Вычислите \(sin\left ( 2arctg\frac{2}{3} \right )-tg\left ( \frac{1}{2}arccos\frac{7}{25} \right )\)

Ответ

\frac{9}{52}

Решение № 14481:

Следуем пошаговому решению задачи \( \sin \left( 2 \operatorname{arctg} \frac{2}{3} \right) - \operatorname{tg} \left( \frac{1}{2} \operatorname{arccos} \frac{7}{25} \right) \): ```html <ol> <li>Построим прямоугольный треугольник с углом \(\alpha = \operatorname{arctg} \frac{2}{3}\). Для этого угла \(\operatorname{tg} \alpha = \frac{2}{3}\).</li> <li>Известно, что если \(\operatorname{tg} \alpha = \frac{2}{3}\), то \(\sin \alpha = \frac{2}{\sqrt{13}}\) и \(\cos \alpha = \frac{3}{\sqrt{13}}\), где \(\sqrt{13}\) — это гипотенуза треугольника с катетами 2 и 3.</li> <li>Теперь найдём \(\sin(2\alpha)\) используя формулу двойного угла: \[ \sin(2\alpha) = 2 \sin \alpha \cos \alpha = 2 \cdot \frac{2}{\sqrt{13}} \cdot \frac{3}{\sqrt{13}} = \frac{12}{13} \] </li> <li>Теперь рассмотрим вторую часть выражения. Пусть \(\beta = \operatorname{arccos} \frac{7}{25}\). Тогда \(\cos \beta = \frac{7}{25}\).</li> <li>Известно, что \(\sin \beta = \sqrt{1 - \cos^2 \beta} = \sqrt{1 - \left(\frac{7}{25}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{49}{625}} = \sqrt{\frac{576}{625}} = \frac{24}{25}\).</li> <li>Теперь найдём \(\operatorname{tg} \left( \frac{1}{2} \beta \right)\) используя формулу полуугла: \[ \operatorname{tg} \left( \frac{1}{2} \beta \right) = \frac{\sin \beta}{1 + \cos \beta} = \frac{\frac{24}{25}}{1 + \frac{7}{25}} = \frac{\frac{24}{25}}{\frac{32}{25}} = \frac{24}{32} = \frac{3}{4} \] </li> <li>Теперь подставим найденные значения в исходное выражение: \[ \sin \left( 2 \operatorname{arctg} \frac{2}{3} \right) - \operatorname{tg} \left( \frac{1}{2} \operatorname{arccos} \frac{7}{25} \right) = \frac{12}{13} - \frac{3}{4} \] </li> <li>Приведём дроби к общему знаменателю: \[ \frac{12}{13} - \frac{3}{4} = \frac{48}{52} - \frac{39}{52} = \frac{9}{52} \] </li> </ol> <p><strong>Ответ:</strong> \(\frac{9}{52}\)</p> ```