№14449

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, Обратные тригонометрические функции,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Найдите область определения функции \(y=arcctg\sqrt{x^{2}-3x+2}\)

Ответ

(-\infty;1]\cup [2;+\infty )

Решение № 14447:

Для нахождения области определения функции \(y = \operatorname{arcctg} \sqrt{x^2 - 3x + 2}\), необходимо выполнить следующие шаги: 1. **Определить область допустимых значений аргумента функции \(\operatorname{arcctg}\)**: - Функция \(\operatorname{arcctg} z\) определена для всех \(z \in \mathbb{R}\). 2. **Определить область допустимых значений подкоренного выражения**: - Подкоренное выражение \(\sqrt{x^2 - 3x + 2}\) должно быть неотрицательным, так как корень из отрицательного числа не определен. - Следовательно, \(x^2 - 3x + 2 \geq 0\). 3. **Решить неравенство \(x^2 - 3x + 2 \geq 0\)**: - Сначала найдем корни квадратного уравнения \(x^2 - 3x + 2 = 0\). \[ x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2) = 0 \] Корни уравнения: \(x = 1\) и \(x = 2\). 4. **Определить интервалы, на которых \(x^2 - 3x + 2 \geq 0\)**: - Квадратный трехчлен \(x^2 - 3x + 2\) неотрицателен на интервалах \((-\infty, 1]\) и \([2, \infty)\). 5. **Объединить интервалы**: - Область допустимых значений для \(x\): \(x \in (-\infty, 1] \cup [2, \infty)\). Таким образом, область определения функции \(y = \operatorname{arcctg} \sqrt{x^2 - 3x + 2}\) является \((-\infty, 1] \cup [2, \infty)\). <ol> <li>Определить область допустимых значений аргумента функции \(\operatorname{arcctg}\): Функция \(\operatorname{arcctg} z\) определена для всех \(z \in \mathbb{R}\).</li> <li>Определить область допустимых значений подкоренного выражения: Подкоренное выражение \(\sqrt{x^2 - 3x + 2}\) должно быть неотрицательным, так как корень из отрицательного числа не определен. Следовательно, \(x^2 - 3x + 2 \geq 0\).</li> <li>Решить неравенство \(x^2 - 3x + 2 \geq 0\): Сначала найдем корни квадратного уравнения \(x^2 - 3x + 2 = 0\). \[ x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2) = 0 \] Корни уравнения: \(x = 1\) и \(x = 2\).</li> <li>Определить интервалы, на которых \(x^2 - 3x + 2 \geq 0\): Квадратный трехчлен \(x^2 - 3x + 2\) неотрицателен на интервалах \((-\infty, 1]\) и \([2, \infty)\).</li> <li>Объединить интервалы: Область допустимых значений для \(x\): \(x \in (-\infty, 1] \cup [2, \infty)\).</li> </ol> <p><strong>Ответ:</strong> \((-\infty, 1] \cup [2, \infty)\)</p>