№14360

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, Формулы сложения и их следствия, Формулы тройного и половинного аргументов. Выражение тригонометрических функций через тангенс половинного аргумента,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Вычислите \(sin\left ( 2\alpha +\frac{5\pi }{4} \right )\), если \(tg\alpha=\frac{2}{3}\)

Ответ

-17\sqrt{\frac{2}{26}}

Решение № 14358:

<ol> <li>Используем формулу для синуса суммы углов: \(\sin(x + y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y\)</li> <li>Подставляем \(x = 2\alpha\) и \(y = \frac{5\pi}{4}\): \(\sin\left(2\alpha + \frac{5\pi}{4}\right) = \sin 2\alpha \cos \frac{5\pi}{4} + \cos 2\alpha \sin \frac{5\pi}{4}\)</li> <li>Находим значения \(\cos \frac{5\pi}{4}\) и \(\sin \frac{5\pi}{4}\): \(\cos \frac{5\pi}{4} = \cos \left(2\pi - \frac{3\pi}{4}\right) = -\cos \frac{3\pi}{4} = -\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}\) \(\sin \frac{5\pi}{4} = \sin \left(2\pi - \frac{3\pi}{4}\right) = -\sin \frac{3\pi}{4} = -\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}\)</li> <li>Подставляем найденные значения: \(\sin\left(2\alpha + \frac{5\pi}{4}\right) = \sin 2\alpha \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos 2\alpha \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\)</li> <li>Используем двойные углы для синуса и косинуса: \(\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha\) \(\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha\)</li> <li>Используем данное \(\tan \alpha = \frac{2}{3}\) для выражения \(\sin \alpha\) и \(\cos \alpha\) через \(\tan \alpha\): \(\sin \alpha = \frac{\tan \alpha}{\sqrt{1 + \tan^2 \alpha}} = \frac{2}{\sqrt{1 + \left(\frac{2}{3}\right)^2}} = \frac{2}{\sqrt{1 + \frac{4}{9}}} = \frac{2}{\sqrt{\frac{13}{9}}} = \frac{2 \cdot 3}{\sqrt{13}} = \frac{6}{\sqrt{13}}\) \(\cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{1 + \tan^2 \alpha}} = \frac{1}{\sqrt{1 + \left(\frac{2}{3}\right)^2}} = \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{4}{9}}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{13}{9}}} = \frac{3}{\sqrt{13}}\)</li> <li>Подставляем \(\sin \alpha\) и \(\cos \alpha\) в формулы для \(\sin 2\alpha\) и \(\cos 2\alpha\): \(\sin 2\alpha = 2 \cdot \frac{6}{\sqrt{13}} \cdot \frac{3}{\sqrt{13}} = 2 \cdot \frac{18}{13} = \frac{36}{13}\) \(\cos 2\alpha = \left(\frac{3}{\sqrt{13}}\right)^2 - \left(\frac{6}{\sqrt{13}}\right)^2 = \frac{9}{13} - \frac{36}{13} = -\frac{27}{13}\)</li> <li>Подставляем \(\sin 2\alpha\) и \(\cos 2\alpha\) в выражение для \(\sin\left(2\alpha + \frac{5\pi}{4}\right)\): \(\sin\left(2\alpha + \frac{5\pi}{4}\right) = \frac{36}{13} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \left(-\frac{27}{13}\right) \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{36\sqrt{2}}{26} + \frac{27\sqrt{2}}{26} = \frac{63\sqrt{2}}{26}\)</li> </ol> <p><strong>Ответ:</strong> \(\frac{63\sqrt{2}}{26}\)</p>