№14246

Экзамены с этой задачей: Преобразования числовых тригонометрических выражений

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, Формулы сложения и их следствия, Формулы суммы и разности одноименных тригонометрических функций, формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Вычислите \(tg20^{0}\cdot tg40^{0}\cdot tg60^{0}\cdot tg80^{0}\)

Ответ

3

Решение № 14244:

Конечно, давайте решим задачу пошагово. <ol> <li>Используем тождество для произведения тангенсов: \[ \operatorname{tg} \alpha \cdot \operatorname{tg} \beta = \frac{\sin \alpha \sin \beta}{\cos \alpha \cos \beta} \]</li> <li>Применяем это тождество к нашему выражению: \[ \operatorname{tg} 20^{\circ} \cdot \operatorname{tg} 40^{\circ} \cdot \operatorname{tg} 60^{\circ} \cdot \operatorname{tg} 80^{\circ} = \frac{\sin 20^{\circ} \sin 40^{\circ} \sin 60^{\circ} \sin 80^{\circ}}{\cos 20^{\circ} \cos 40^{\circ} \cos 60^{\circ} \cos 80^{\circ}} \]</li> <li>Используем тождество для произведения синусов и косинусов: \[ \sin 20^{\circ} \sin 40^{\circ} \sin 60^{\circ} \sin 80^{\circ} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \] \[ \cos 20^{\circ} \cos 40^{\circ} \cos 60^{\circ} \cos 80^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \]</li> <li>Подставляем эти значения в наше выражение: \[ \frac{\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\right)}{\left(\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}\right)} = \frac{\frac{1}{4} \cdot \frac{3}{4}}{\frac{3}{4} \cdot \frac{1}{4}} = \frac{\frac{3}{16}}{\frac{3}{16}} = 1 \]</li> <li>Таким образом, получаем окончательный результат: \[ \operatorname{tg} 20^{\circ} \cdot \operatorname{tg} 40^{\circ} \cdot \operatorname{tg} 60^{\circ} \cdot \operatorname{tg} 80^{\circ} = 1 \]</li> </ol> <p><strong>Ответ:</strong> 1</p>