№14229

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, Формулы сложения и их следствия, Формулы приведения,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Упростите упражнение \(\frac{cos\left ( \frac{5\pi }{2}-6\alpha \right )+sin(\pi +4\alpha )+sin(3\pi -4\alpha )}{cos\left ( \frac{5\pi }{2}+6\alpha \right )+cos(4\alpha -2\pi )+cos(4\alpha +\pi )}\)

Ответ

tg6\alpha

Решение № 14227:

Для упрощения выражения \(\frac{\cos\left(\frac{5\pi}{2} - 6\alpha\right) + \sin(\pi + 4\alpha) + \sin(3\pi - 4\alpha)}{\cos\left(\frac{5\pi}{2} + 6\alpha\right) + \cos(4\alpha - 2\pi) + \cos(4\alpha + \pi)}\), выполним следующие шаги: <ol> <li>Упростим каждый тригонометрический элемент в числителе и знаменателе:</li> <ol type=a> <li>Для \(\cos\left(\frac{5\pi}{2} - 6\alpha\right)\): \(\cos\left(\frac{5\pi}{2} - 6\alpha\right) = \cos\left(2\pi + \frac{\pi}{2} - 6\alpha\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2} - 6\alpha\right)\)</li> <li>Для \(\sin(\pi + 4\alpha)\): \(\sin(\pi + 4\alpha) = -\sin(4\alpha)\)</li> <li>Для \(\sin(3\pi - 4\alpha)\): \(\sin(3\pi - 4\alpha) = -\sin(4\alpha)\)</li> <li>Для \(\cos\left(\frac{5\pi}{2} + 6\alpha\right)\): \(\cos\left(\frac{5\pi}{2} + 6\alpha\right) = \cos\left(2\pi + \frac{\pi}{2} + 6\alpha\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2} + 6\alpha\right)\)</li> <li>Для \(\cos(4\alpha - 2\pi)\): \(\cos(4\alpha - 2\pi) = \cos(4\alpha)\)</li> <li>Для \(\cos(4\alpha + \pi)\): \(\cos(4\alpha + \pi) = -\cos(4\alpha)\)</li> </ol> <li>Подставим упрощенные выражения в числитель и знаменатель:</li> <ol type=a> <li>Числитель: \(\cos\left(\frac{\pi}{2} - 6\alpha\right) - \sin(4\alpha) - \sin(4\alpha) = \cos\left(\frac{\pi}{2} - 6\alpha\right) - 2\sin(4\alpha)\)</li> <li>Знаменатель: \(\cos\left(\frac{\pi}{2} + 6\alpha\right) + \cos(4\alpha) - \cos(4\alpha) = \cos\left(\frac{\pi}{2} + 6\alpha\right)\)</li> </ol> <li>Используем тригонометрические тождества:</li> <ol type=a> <li>Для \(\cos\left(\frac{\pi}{2} - 6\alpha\right)\): \(\cos\left(\frac{\pi}{2} - 6\alpha\right) = \sin(6\alpha)\)</li> <li>Для \(\cos\left(\frac{\pi}{2} + 6\alpha\right)\): \(\cos\left(\frac{\pi}{2} + 6\alpha\right) = -\sin(6\alpha)\)</li> </ol> <li>Подставим эти тождества в выражение:</li> <ol type=a> <li>Числитель: \(\sin(6\alpha) - 2\sin(4\alpha)\)</li> <li>Знаменатель: \(-\sin(6\alpha)\)</li> </ol> <li>Упростим выражение:</li> \(\frac{\sin(6\alpha) - 2\sin(4\alpha)}{-\sin(6\alpha)}\) <li>Разделим числитель и знаменатель:</li> \(\frac{\sin(6\alpha)}{-\sin(6\alpha)} - \frac{2\sin(4\alpha)}{-\sin(6\alpha)} = -1 + \frac{2\sin(4\alpha)}{\sin(6\alpha)}\) <li>Упростим окончательно:</li> \(-1 - \frac{2\sin(4\alpha)}{\sin(6\alpha)}\) </ol> <p><strong>Ответ:</strong> \(-1 - \frac{2\sin(4\alpha)}{\sin(6\alpha)}\)</p>