№14118

Экзамены с этой задачей: Преобразования числовых тригонометрических выражений

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, Формулы сложения и их следствия, Формулы сложения,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Упростите \(\frac{tg\alpha +tg\beta }{tg(\alpha +\beta )}+\frac{tg\alpha -tg\beta }{tg(\alpha -\beta )}\)

Ответ

2

Решение № 14116:

Конечно, давайте решим задачу пошагово. ```html <ol> <li>Начнем с выражения: \(\frac{\tan \alpha + \tan \beta}{\tan (\alpha + \beta)} + \frac{\tan \alpha - \tan \beta}{\tan (\alpha - \beta)}\)</li> <li>Используем формулы для тангенса суммы и разности углов: \(\tan (\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta}\) и \(\tan (\alpha - \beta) = \frac{\tan \alpha - \tan \beta}{1 + \tan \alpha \tan \beta}\)</li> <li>Подставляем эти формулы в наше выражение: \(\frac{\tan \alpha + \tan \beta}{\frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta}} + \frac{\tan \alpha - \tan \beta}{\frac{\tan \alpha - \tan \beta}{1 + \tan \alpha \tan \beta}}\)</li> <li>Упрощаем дроби: \(\frac{\tan \alpha + \tan \beta}{\tan \alpha + \tan \beta} \cdot (1 - \tan \alpha \tan \beta) + \frac{\tan \alpha - \tan \beta}{\tan \alpha - \tan \beta} \cdot (1 + \tan \alpha \tan \beta)\)</li> <li>Упрощаем выражение: \((1 - \tan \alpha \tan \beta) + (1 + \tan \alpha \tan \beta)\)</li> <li>Складываем оставшиеся члены: \(1 - \tan \alpha \tan \beta + 1 + \tan \alpha \tan \beta = 2\)</li> </ol> <p><strong>Ответ:</strong> \(2\)</p> ``` Таким образом, упрощенное выражение равно 2.