№14117

Экзамены с этой задачей: Преобразования числовых тригонометрических выражений

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, Формулы сложения и их следствия, Формулы сложения,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Упростите \(sin^{2}\left ( \frac{2\pi }{3}-\alpha \right )+sin^{2}\left ( \frac{2\pi }{3}+\alpha \right )+sin^{2}\alpha \)

Ответ

1.5

Решение № 14115:

Конечно, давайте упростим выражение \( \sin^{2}\left( \frac{2\pi}{3} - \alpha \right) + \sin^{2}\left( \frac{2\pi}{3} + \alpha \right) + \sin^{2}\alpha \) пошагово. <ol> <li>Используем формулу для квадрата синуса: \[ \sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2} \]</li> <li>Применяем эту формулу к каждому члену выражения: \[ \sin^2\left( \frac{2\pi}{3} - \alpha \right) = \frac{1 - \cos\left( \frac{4\pi}{3} - 2\alpha \right)}{2} \] \[ \sin^2\left( \frac{2\pi}{3} + \alpha \right) = \frac{1 - \cos\left( \frac{4\pi}{3} + 2\alpha \right)}{2} \] \[ \sin^2\alpha = \frac{1 - \cos 2\alpha}{2} \]</li> <li>Суммируем все три выражения: \[ \sin^2\left( \frac{2\pi}{3} - \alpha \right) + \sin^2\left( \frac{2\pi}{3} + \alpha \right) + \sin^2\alpha = \frac{1 - \cos\left( \frac{4\pi}{3} - 2\alpha \right)}{2} + \frac{1 - \cos\left( \frac{4\pi}{3} + 2\alpha \right)}{2} + \frac{1 - \cos 2\alpha}{2} \]</li> <li>Объединяем подобные члены: \[ = \frac{1}{2} \left( 1 - \cos\left( \frac{4\pi}{3} - 2\alpha \right) \right) + \frac{1}{2} \left( 1 - \cos\left( \frac{4\pi}{3} + 2\alpha \right) \right) + \frac{1}{2} \left( 1 - \cos 2\alpha \right) \] \[ = \frac{1}{2} \left( 3 - \cos\left( \frac{4\pi}{3} - 2\alpha \right) - \cos\left( \frac{4\pi}{3} + 2\alpha \right) - \cos 2\alpha \right) \]</li> <li>Используем формулу для суммы косинусов: \[ \cos A + \cos B = 2 \cos\left( \frac{A + B}{2} \right) \cos\left( \frac{A - B}{2} \right) \] Применяем эту формулу к \(\cos\left( \frac{4\pi}{3} - 2\alpha \right) + \cos\left( \frac{4\pi}{3} + 2\alpha \right)\): \[ \cos\left( \frac{4\pi}{3} - 2\alpha \right) + \cos\left( \frac{4\pi}{3} + 2\alpha \right) = 2 \cos\left( \frac{4\pi}{3} \right) \cos\left( 2\alpha \right) \]</li> <li>Подставляем это в наше выражение: \[ = \frac{1}{2} \left( 3 - 2 \cos\left( \frac{4\pi}{3} \right) \cos\left( 2\alpha \right) - \cos 2\alpha \right) \] \[ = \frac{1}{2} \left( 3 - \left( 2 \cos\left( \frac{4\pi}{3} \right) + 1 \right) \cos 2\alpha \right) \]</li> <li>Учитываем, что \(\cos\left( \frac{4\pi}{3} \right) = -\frac{1}{2}\): \[ = \frac{1}{2} \left( 3 - \left( 2 \left( -\frac{1}{2} \right) + 1 \right) \cos 2\alpha \right) \] \[ = \frac{1}{2} \left( 3 - \left( -1 + 1 \right) \cos 2\alpha \right) \] \[ = \frac{1}{2} \left( 3 - 0 \right) \] \[ = \frac{3}{2} \]</li> </ol> <p><strong>Ответ:</strong> \(\frac{3}{2}\)</p>