№14115

Экзамены с этой задачей: Преобразования числовых тригонометрических выражений

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, Формулы сложения и их следствия, Формулы сложения,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Упростите \(cos^{2}\left ( \frac{\pi }{3}+\alpha \right )+cos^{2}\left ( \frac{\pi }{3}-\alpha \right )+cos^{2}\alpha \)

Ответ

1

Решение № 14113:

Конечно, давайте упростим выражение \( \cos^{2}\left ( \frac{\pi}{3}+\alpha \right )+\cos^{2}\left ( \frac{\pi}{3}-\alpha \right )+\cos^{2}\alpha \) пошагово. <ol> <li>Используем формулу для косинуса суммы и разности углов: \[ \cos\left( \frac{\pi}{3} + \alpha \right) = \cos \frac{\pi}{3} \cos \alpha - \sin \frac{\pi}{3} \sin \alpha = \frac{1}{2} \cos \alpha - \frac{\sqrt{3}}{2} \sin \alpha \] \[ \cos\left( \frac{\pi}{3} - \alpha \right) = \cos \frac{\pi}{3} \cos \alpha + \sin \frac{\pi}{3} \sin \alpha = \frac{1}{2} \cos \alpha + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin \alpha \] </li> <li>Возводим эти выражения в квадрат: \[ \cos^2\left( \frac{\pi}{3} + \alpha \right) = \left( \frac{1}{2} \cos \alpha - \frac{\sqrt{3}}{2} \sin \alpha \right)^2 = \frac{1}{4} \cos^2 \alpha - \frac{\sqrt{3}}{2} \cos \alpha \sin \alpha + \frac{3}{4} \sin^2 \alpha \] \[ \cos^2\left( \frac{\pi}{3} - \alpha \right) = \left( \frac{1}{2} \cos \alpha + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin \alpha \right)^2 = \frac{1}{4} \cos^2 \alpha + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos \alpha \sin \alpha + \frac{3}{4} \sin^2 \alpha \] </li> <li>Складываем полученные выражения: \[ \cos^2\left( \frac{\pi}{3} + \alpha \right) + \cos^2\left( \frac{\pi}{3} - \alpha \right) = \left( \frac{1}{4} \cos^2 \alpha - \frac{\sqrt{3}}{2} \cos \alpha \sin \alpha + \frac{3}{4} \sin^2 \alpha \right) + \left( \frac{1}{4} \cos^2 \alpha + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos \alpha \sin \alpha + \frac{3}{4} \sin^2 \alpha \right) \] \[ = \frac{1}{4} \cos^2 \alpha + \frac{1}{4} \cos^2 \alpha + \frac{3}{4} \sin^2 \alpha + \frac{3}{4} \sin^2 \alpha \] \[ = \frac{1}{2} \cos^2 \alpha + \frac{3}{2} \sin^2 \alpha \] </li> <li>Добавляем \(\cos^2 \alpha\): \[ \cos^2\left( \frac{\pi}{3} + \alpha \right) + \cos^2\left( \frac{\pi}{3} - \alpha \right) + \cos^2 \alpha = \frac{1}{2} \cos^2 \alpha + \frac{3}{2} \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha \] \[ = \frac{1}{2} \cos^2 \alpha + \cos^2 \alpha + \frac{3}{2} \sin^2 \alpha \] \[ = \frac{3}{2} \cos^2 \alpha + \frac{3}{2} \sin^2 \alpha \] </li> <li>Используем основное тригонометрическое тождество \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\): \[ \frac{3}{2} \cos^2 \alpha + \frac{3}{2} \sin^2 \alpha = \frac{3}{2} (\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha) = \frac{3}{2} \cdot 1 = \frac{3}{2} \] </li> </ol> <p><strong>Ответ:</strong> \(\frac{3}{2}\)</p>