№14114

Экзамены с этой задачей: Преобразования числовых тригонометрических выражений

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, Формулы сложения и их следствия, Формулы сложения,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Упростите \(\frac{cos^{2}(\beta -\alpha )+cos^{2}(\alpha +\beta )}{2sin^{2}\alpha sin^{2}\beta }-ctg^{2}\alpha ctg^{2}\beta \)

Ответ

1

Решение № 14112:

Для решения задачи упрощения выражения \(\frac{\cos^2(\beta - \alpha) + \cos^2(\alpha + \beta)}{2 \sin^2 \alpha \sin^2 \beta} - \cot^2 \alpha \cot^2 \beta\) выполним следующие шаги: 1. **Используем тригонометрическое тождество для косинуса суммы и разности углов:** \[ \cos(\beta - \alpha) = \cos \beta \cos \alpha + \sin \beta \sin \alpha \] \[ \cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta \] 2. **Возведем эти выражения в квадрат:** \[ \cos^2(\beta - \alpha) = (\cos \beta \cos \alpha + \sin \beta \sin \alpha)^2 \] \[ \cos^2(\alpha + \beta) = (\cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta)^2 \] 3. **Сложим эти выражения:** \[ \cos^2(\beta - \alpha) + \cos^2(\alpha + \beta) = (\cos \beta \cos \alpha + \sin \beta \sin \alpha)^2 + (\cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta)^2 \] 4. **Раскроем скобки:** \[ (\cos \beta \cos \alpha + \sin \beta \sin \alpha)^2 = \cos^2 \beta \cos^2 \alpha + 2 \cos \beta \cos \alpha \sin \beta \sin \alpha + \sin^2 \beta \sin^2 \alpha \] \[ (\cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta)^2 = \cos^2 \alpha \cos^2 \beta - 2 \cos \alpha \cos \beta \sin \alpha \sin \beta + \sin^2 \alpha \sin^2 \beta \] 5. **Сложим результаты:** \[ \cos^2 \beta \cos^2 \alpha + 2 \cos \beta \cos \alpha \sin \beta \sin \alpha + \sin^2 \beta \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha \cos^2 \beta - 2 \cos \alpha \cos \beta \sin \alpha \sin \beta + \sin^2 \alpha \sin^2 \beta \] \[ = 2 \cos^2 \alpha \cos^2 \beta + 2 \sin^2 \alpha \sin^2 \beta \] 6. **Подставим в исходное выражение:** \[ \frac{2 \cos^2 \alpha \cos^2 \beta + 2 \sin^2 \alpha \sin^2 \beta}{2 \sin^2 \alpha \sin^2 \beta} \] 7. **Упростим дробь:** \[ \frac{2 \cos^2 \alpha \cos^2 \beta}{2 \sin^2 \alpha \sin^2 \beta} + \frac{2 \sin^2 \alpha \sin^2 \beta}{2 \sin^2 \alpha \sin^2 \beta} \] \[ = \frac{\cos^2 \alpha \cos^2 \beta}{\sin^2 \alpha \sin^2 \beta} + 1 \] 8. **Используем определение котангенса:** \[ \cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}, \quad \cot \beta = \frac{\cos \beta}{\sin \beta} \] \[ \cot^2 \alpha \cot^2 \beta = \left(\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}\right)^2 \left(\frac{\cos \beta}{\sin \beta}\right)^2 = \frac{\cos^2 \alpha \cos^2 \beta}{\sin^2 \alpha \sin^2 \beta} \] 9. **Подставим это в выражение:** \[ \frac{\cos^2 \alpha \cos^2 \beta}{\sin^2 \alpha \sin^2 \beta} + 1 - \cot^2 \alpha \cot^2 \beta \] \[ = \cot^2 \alpha \cot^2 \beta + 1 - \cot^2 \alpha \cot^2 \beta \] 10. **Упростим окончательное выражение:** \[ \cot^2 \alpha \cot^2 \beta + 1 - \cot^2 \alpha \cot^2 \beta = 1 \] **Ответ:** \(\boxed{1}\)