№14112

Экзамены с этой задачей: Преобразования числовых тригонометрических выражений

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, Формулы сложения и их следствия, Формулы сложения,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Найдите \(sin(\alpha +\beta )\), если \(sin\alpha =\frac{9}{41}, sin\beta =-\frac{40}{41}, \alpha \) - угол второй четверти, \(\beta \) - угол четвертой четверти.

Ответ

1

Решение № 14110:

<ol> <li>Определим косинусы углов \(\alpha\) и \(\beta\), используя Пифагорову теорему: \[ \cos \alpha = \sqrt{1 - \sin^2 \alpha} = \sqrt{1 - \left(\frac{9}{41}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{81}{1681}} = \sqrt{\frac{1600}{1681}} = \frac{40}{41} \] \[ \cos \beta = \sqrt{1 - \sin^2 \beta} = \sqrt{1 - \left(-\frac{40}{41}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{1600}{1681}} = \sqrt{\frac{81}{1681}} = \frac{9}{41} \] </li> <li>Используем формулу сложения синусов: \[ \sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta \] </li> <li>Подставим известные значения: \[ \sin(\alpha + \beta) = \left(\frac{9}{41}\right) \left(\frac{9}{41}\right) + \left(\frac{40}{41}\right) \left(-\frac{40}{41}\right) \] </li> <li>Вычислим произведения: \[ \sin(\alpha + \beta) = \frac{81}{1681} - \frac{1600}{1681} \] </li> <li>Сложим дроби: \[ \sin(\alpha + \beta) = \frac{81 - 1600}{1681} = \frac{-1519}{1681} \] </li> </ol> <p><strong>Ответ:</strong> \( \sin(\alpha + \beta) = -\frac{1519}{1681} \)</p>