№14107

Экзамены с этой задачей: Преобразования числовых тригонометрических выражений

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, Формулы сложения и их следствия, Формулы сложения,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Вычислите \(\frac{tg80^{0}-tg35^{0}}{tg80^{0}tg35^{0}+1}\)

Ответ

1

Решение № 14105:

Конечно, давайте решим задачу пошагово, используя HTML-теги для выделения пунктов. Задача: Вычислите \(\frac{\operatorname{tg} 80^{\circ} - \operatorname{tg} 35^{\circ}}{\operatorname{tg} 80^{\circ} \operatorname{tg} 35^{\circ} + 1}\). <ol> <li>Используем формулу для разности тангенсов: \(\operatorname{tg} A - \operatorname{tg} B = \frac{\sin A \cos B - \cos A \sin B}{\cos A \cos B}\)</li> <li>Применяем формулу для суммы тангенсов: \(\operatorname{tg} A \operatorname{tg} B + 1 = \frac{\sin A \cos B + \cos A \sin B}{\cos A \cos B}\)</li> <li>Подставляем эти формулы в наше выражение: \(\frac{\operatorname{tg} 80^{\circ} - \operatorname{tg} 35^{\circ}}{\operatorname{tg} 80^{\circ} \operatorname{tg} 35^{\circ} + 1} = \frac{\frac{\sin 80^{\circ} \cos 35^{\circ} - \cos 80^{\circ} \sin 35^{\circ}}{\cos 80^{\circ} \cos 35^{\circ}}}{\frac{\sin 80^{\circ} \cos 35^{\circ} + \cos 80^{\circ} \sin 35^{\circ}}{\cos 80^{\circ} \cos 35^{\circ}}}\)</li> <li>Упрощаем выражение: \(\frac{\sin 80^{\circ} \cos 35^{\circ} - \cos 80^{\circ} \sin 35^{\circ}}{\sin 80^{\circ} \cos 35^{\circ} + \cos 80^{\circ} \sin 35^{\circ}}\)</li> <li>Используем формулу синуса разности: \(\sin (A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B\)</li> <li>Используем формулу синуса суммы: \(\sin (A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B\)</li> <li>Подставляем эти формулы в наше выражение: \(\frac{\sin (80^{\circ} - 35^{\circ})}{\sin (80^{\circ} + 35^{\circ})}\)</li> <li>Вычисляем углы: \(80^{\circ} - 35^{\circ} = 45^{\circ}\) и \(80^{\circ} + 35^{\circ} = 115^{\circ}\)</li> <li>Подставляем углы в синусы: \(\frac{\sin 45^{\circ}}{\sin 115^{\circ}}\)</li> <li>Используем значения синусов: \(\sin 45^{\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2}\) и \(\sin 115^{\circ} = \sin (180^{\circ} - 65^{\circ}) = \sin 65^{\circ} = \cos 25^{\circ}\)</li> <li>Подставляем значения: \(\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\cos 25^{\circ}}\)</li> <li>Упрощаем выражение: \(\frac{\sqrt{2}}{2 \cos 25^{\circ}}\)</li> </ol> <p><strong>Ответ:</strong> \(\frac{\sqrt{2}}{2 \cos 25^{\circ}}\)</p>